Colinéarité de deux vecteurs

1 - Définition et propriété de la colinéarité

C'est la nouveauté de cette année, celle qui va nous permettre de démontrer l'alignement et le parallélisme.

Définition

Vecteurs colinéaires

Soient les vecteurs et .
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que : = k.

Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.

Et comment on montre que deux vecteurs sont colinéaires ?

J'allais y venir.

Propriété

Colinéarité de deux vecteurs

Soient les vecteurs (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs et sont colinéaire si et seulement si : xy' - yx' = 0

Exemple

Les vecteurs (1; 2) et (2; 4) sont colinéaires.

En effet, on remarque que : = 2.
Cela se vérifie bien aussi comme ceci :
1×4 - 2×2 = 4 - 4 = 0

C'est toujours pareil. Si la différence xy' - yx' est nulle, les vecteurs sont colinéaires.

2 - Parallélisme et alignement

Comme je vous l'ai dit, la colinéarité va nous servir à démontrer le parallélisme, ainsi que l'alignement de points.

Propriétés

La colinéarité de deux vecteurs signifie en fait que les vecteurs sont parallèles. Si les vecteurs sont colinéaires, alors les droites dont les vecteurs sont directeurs (les droites que dirigent chacun de deux vecteurs) sont parallèles.

Pour démontrer l'alignement ou le parallélisme, il vous suffira de montrer la coliéarité. C'est tout.

Exemple

Soient les points A(5; 3), B(6; 2) et C(-2; 0).
Les points A, B et C sont-ils alignés.

Calculons les cordonnées des vecteurs et et voyons s'ils sont colinéaires. S'ils le sont, les points sont alignés car on a deux vecteurs colinéaires et un point en commun. Sinon, les points ne le sont pas.

= (6 - 5; 2 - 3) = (1; -1) et = (-2 - 5; 0 - 3) = (-7; -3).

Regardons maintenant la colinéarité : 1×(-3) - (-1)×(-7) = -3 -7 = -10 ≠0.

Donc, les points A, B et C ne sont pas alignés.

Je ne vous donne pas d'exemple sur le parallélisme, c'est la même chose. Vous calculez les coordonnées des vecteurs qui dirigent les droites dont vous voulez savoir si elles sont parallèles ou non. Si ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles, sinon tant pis.