1 - Définition des triangles semblables
Les triangles semblables à présent.
Définition
Triangles semblables
Deux triangles sont semblables si leurs trois angles sont égaux.Deux triangles semblables sont deux triangles ayant subit un agrandissement ou une réduction. En effet, lorsque l'on agrandit (ou réduit) un triangle, on modifie la longueur de ses côtés, mais on ne touche en aucun cas à ses angles.
2 - Propriétés des triangles semblables
Les propriétés ses triangles semblables.
Propriété
Propriété des triangles semblables
Deux triangles semblables ont leurs côtés proportionnels.
Et oui, vu qu'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction.
Dans ces cas là, on va parler de coefficient de proportionnalité.
Définition
Coefficient de proportionnalité
Soient ABC et A'B'C' deux triangles semblables.On appelle coefficient de proportionnalité pour transformer ABC en A'B'C', le rapport :
Plusieurs valeurs de k possibles :
- Si k < 1, alors c'est un coefficient de réduction.
- Si k > 1, alors c'est un coefficient d'agrandissement.
- Si k = 1, alors les deux triangles sont isométriques.
Exemple
On considère les triangles A'BC et A'B'C' de la figure ci-dessous.
Les point B et C sont les milieux respectifs des côtés [A'B'] et [A'C'].
Donc, le côté [A'B'] mesure le double du côté [A'B].
On fait de même pour le côté droit.
Les triangles A'BC et A'B'C' sont semblables, de coefficient d'agrandissement k = 2 pour passer de A'BC à A'B'C'.
Je vais vous donner mieux pour montrer que deux triangles sont semblables.
Les point B et C sont les milieux respectifs des côtés [A'B'] et [A'C'].
Donc, le côté [A'B'] mesure le double du côté [A'B].
On fait de même pour le côté droit.
Les triangles A'BC et A'B'C' sont semblables, de coefficient d'agrandissement k = 2 pour passer de A'BC à A'B'C'.
Je vais vous donner mieux pour montrer que deux triangles sont semblables.
Définition
Montrer que des triangles sont semblables
Voici les propriétés pour montrer que deux triangles sont semblables.
- Si deux triangles ont leurs deux angles égaux (alors le troisième l'est aussi), alors ils sont semblables.
- Si deux triangles ont leurs côté proportionnels, alors ils sont semblables.
- Si deux triangles ont un angle égal et compris entre deux côtés proportionnel, alors ils sont semblables.
- Si deux triangles ont leurs côtés parallèles deux à deux, alors ils sont semblables.
Résumons. Pour démontrer que deux triangles sont semblables il faut, au choix :
- Deux angles égaux,
- Côtés proportionnels,
- Un angles et les deux côtés proportionnels,
- Trois côtés parallèles.
Exemple
Soit la figure suivante :
On a : AE = 28, BE = 96, CE = 21 et DE = 72.
Montrer que les triangles AEB et ECD sont semblables.
Les angles
et 
sont égaux car ils sont opposés par leur sommet.
Nous avons les longueurs, utilisons les. Calculons les rapports des plus petits côtés et des plus grands.
On remarque que les côtés sont proportionnels.
Donc, les triangles AEB et ECD sont semblables, de rapport
.
On a : AE = 28, BE = 96, CE = 21 et DE = 72.
Montrer que les triangles AEB et ECD sont semblables.
Les angles
et sont égaux car ils sont opposés par leur sommet.
Nous avons les longueurs, utilisons les. Calculons les rapports des plus petits côtés et des plus grands.
On remarque que les côtés sont proportionnels.
Donc, les triangles AEB et ECD sont semblables, de rapport
.
Quelques exercices sur Triangles semblables :