Un cours complet sur les puissances. Propriétés et exemples d'étude de fonctions puissances, je vous dis tout et vous prépare pour la partie suivante : la fonction exponentielle. Une chose importante dans ce cours, en particulier, la notion de croissance comparée.
1 - Définition des puissances - Notation puissance
Connaissant les fonctions logarithme et exponentielle, on peut définir une nouvelle notation pour les puissances.
Définition
fonction exponentielle de base a
Soit a > 0 et α ∈
.
On a alors :
Pour tout réel strictement positif a, l'application
est appelée fonction exponentielle de base a.
Rappellez-vous, les fonctions logarithme et exponentielle sont réciproques. Donc quand on compose par ln le nombre 
, ce qui donne ln (), la puissance vient devant le logarithme, par propriété de cette fonction, donc &alpha\; ln(a). Et lorsque l'on compose ensuite par l'exponentielle, on revient à la case départ : aα = eα ln a.
2 - Propriétés des puissances
Un petit rappel des propriétés concernant les puissances.
Propriétés
Règles de calcul des puissances
Voici les propriétés sur les puissances, a et b non nuls et m et n entiers :
Rien à ajouter. Vous connaissez.
3 - II - Etude de la fonction avec a > 0
Soit f(x) = aα = eα ln a.
f est définie et dérivable sur comme composition de fonction dérivables.
Calculons sa dérivée :
A présent, nous allons distinguer deux cas : a < 1 et a > 1.
Cas a < 1 :
La dérivée aα = eα ln a < 0.
Calcul des limites :
Son tableau de variations :
Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie :
.
Cas a > 1 :
La dérivée aα = eα ln a > 0.
Calcul des limites :
Son tableau de variations :
Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie :
.
4 - Croissance comparée
Nous pouvons maintenant présenter la fonciton exponentielle.