Fonction exponentielle

Voici un cours complet sur la fonction exponentielle : définitions, propriétés, études des limites et tracé de cette fonction à connaître sur le bout des doigts pour le Bac.

1 - Définition de la fonction exponentielle

Commençons par un petit théorème avant la définition.

Théorème

Théorème exponentielle

Si f est une fonction dérivable non nulle sur ensemble des réels

vérifiant f(x + y) = f(x) × f(y) avec x, y ∈ ensemble des réels

, alors f(0) = 1 et pour tout réel x, f'(x) = k f(x) où k = f'(0).

Une fonction qui vérifie l'égalité f(x + y) = f(x) × f(y), vous en connaissez beaucoup, vous ? On connait seulement la fonction puissance. Oui, on a .
La fonction exponentielle est construite de la même façon. Avec un exposant.

Définition

Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur ensemble des réels

telle que f' = f et f(0) = 1.
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle.
On la note :

f(x) = exp(x) = e^x

La variable x est l'exposant du nombre e définit au chapitre précédent.
Vous noterez donc bien que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle : (e^x)'=e^x.

Ainsi que : e⁰ = 1.

Oui, encore une fois, tous les nombres élevés à la puissance 0 valent 1.

Vous aviez dit qu'il y avait un lien entre les fonctions logarithme et exponentielle. Je n'en vois pas ?

Il existe une propriété qui lie les fonctions exponentielle et logarithme. En effet, se sont deux fonctions réciproques. Cela veut dire que si l'on compose un nombre par la fonction logarithme puis par la fonction exponentielle (ou inversement), on ne change rien au nombre de départ :

e^{ln x} = x = ln (e^x)

De plus, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x comme vous le verrez dans peu de temps.

Un dernier théorème avant de voir les propriétés de cette fonction extraordinaire.

Théorème

Théorème de la fonction exponentielle

Soit k ∈

.
Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur ensemble des réels

telle que f' = kf et f(0) = 1.
Cette fonction est e^kx.

2 - Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle vérifie : f(x + y) = f(x) × f(y)

Soit : e^{a + b} = e^a × e^b

C'est la propriété fondamentale de cette fonction. Voici les autres.

Propriétés

Propriétés de la fonction exponentielle

Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Pour tout réel x, e^x > 0.

Pour tout a, b ∈ ,

e^a < e^b ⇔ a < b

e^a = e^b ⇔ a = b

Pour tout x > 0, e^{ln x} = x.

Pour tout réel x, ln (e^x) = x.

La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, (e^x)' = e^x.

Si u est une fonction dérivable sur , alors :

(e^u)' = u'e^u

Pour tout x, y ∈ ,

e^{x + y} = e^xe^y

Pour tout réel x,

Pour tout x, y ∈ ,

Pour tout x ∈ et tout n ∈ ,

(e^x)ⁿ = e^nx

Ces propriétés sont primordiales. Cela doit être un automatisme pour vous.
Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance.

Je veux juste insister sur une chose en particulier.
Retenez ceci : la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif.

3 - Tracé de la fonction exponentielle

Le domaine de définition de la fonction exponentielle est : ensemble des réels .
On a dit que la dérivée de la fonction exponentielle était la fonction exponentielle :

(e^x)' = e^x

Or, la fonction exponentielle est toujours positive sur ensemble des réels

. Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur cet intervalle, son domaine de définition.
Traçons le tableau de variation.

tableau de variations de la fonction exponentielle

tableau de variations de la fonction exponentielle

On en déduit aisément le tracé suivant.

représentation graphique de la courbe exponentielle

Regardez, si on trace les fonctions logarithme et exponentielle, ainsi que la droite d'équation y = x sur un même graphique...

Courbes des fonction réciproques logarithme et exponentielle

Courbes des fonction réciproques logarithme et exponentielle

Oui, c'est symétrique, comme je vous l'avez dit.

4 - Etude des limites de la fonction exponentielle

On termine avec les limites.

Propriétés

Limites de la fonction exponentielle

Je ne vous démontre pas ces formules de limites. Elles sont à savoir, toutes.
Si vous n'avez pas directement une fonction de ces types ci, essayer de bidouiller un peu pour l'avoir.

Exemple

La limite de la fonciton étude de limite exponentielle

en +∞ est +∞.

En effet, on a pas directement la forme convenue. On va essayer de bidouiller un peu.
Pour x ≠ 0,

étude de fonction exponentielle

Calculons les limites séparément.

étude de limite de fonction exponentielle

On a plus qu'à multiplier les limites entre elles : 1 × +∞ = +∞.

fonction exponentielle

Quelques exercices sur Fonction exponentielle :