La partie du cours la plus importante sur les primitives : les primitives usuelles. Ces formules sont à connaître par coeur. Je vous donne également plusieurs exemples d'application de chacune de ces formules.
Comme pour les dérivées, vous devez connaître le tableau des primitives usuelles. Aillez toujours en tête que c'est le sens inverse de la dérivation.
Vous remarquerez bien que dans toutes les primitives, on retrouve la constante d'intégration C.
Je vais vous donner une poignée d'exemple.
Exemple 1
La primitive de la fonction f(x) = 5 est F(x) = 5x + C.
En effet, la fonction f correspond à la première formule avec k = 5.
En effet, la fonction f correspond à la première formule avec k = 5.
Exemple 2
La primitive de la fonction 
est 
.
En effet, la fonction f correspond à la deuxième formule avec n = 4.
On augmente la puissance de la variable x de la fonction f de 1 degré : 4 + 1 = 5 et le nouveau degré obtenu sera aussi le nombre du dénominateur.
est .
En effet, la fonction f correspond à la deuxième formule avec n = 4.
On augmente la puissance de la variable x de la fonction f de 1 degré : 4 + 1 = 5 et le nouveau degré obtenu sera aussi le nombre du dénominateur.
Exemple 3
La primitive de la fonction 
est 
.
En effet, la fonction f correspond à la troisième formule.
C'est une fonction de la forme
avec un coefficient -3.
Donc la primitive est la fonction
avec un coefficient -3, soit :
On n'a pas besoin de multiplier la constante par -3 parce-que cela restera une constante à déterminée. En effet, C ou -3C reste une constante. Ce que l'on veut c'est une constante, un point c'est tout.
est .
En effet, la fonction f correspond à la troisième formule.
C'est une fonction de la forme
avec un coefficient -3.
Donc la primitive est la fonction
avec un coefficient -3, soit :
On n'a pas besoin de multiplier la constante par -3 parce-que cela restera une constante à déterminée. En effet, C ou -3C reste une constante. Ce que l'on veut c'est une constante, un point c'est tout.
Exemple 4
La primitive de la fonction 
est F(x) = -3/x + C.
En effet, on applique la quatrième formule avec n = 2, et avec un coefficient de 3.
est F(x) = -3/x + C.
En effet, on applique la quatrième formule avec n = 2, et avec un coefficient de 3.
Exemple 5
La primitive de la fonction 
est 
.
En effet, on peut imaginer que la fonction f corresponde à la septième formule avec u(x) = -2x + 3 et n = 6 car on a un quotient de fonctions.
Mettons le coefficient 7 a part.
On retrouve facilement u' en dérivant u : u'(x) = (-2x + 3)' = -2
Cependant, ici, nous n'avons pas de -2 au numérateur. Il faut faire en sorte de l'avoir. On va donc multiplier le tout par
pour avoir ce u'(x) = -2 au numérateur. Cela ne va rien changer car en réalité on multiplie par 1: .
Maintenant on peut appliquer la formule
car la fonction est de la forme :
Avec u(x) = -2x + 3 et n = 6.
On laisse le facteur
à part.
Appliquons la.
Notons bien que la puissance, comme elle se trouve au dénominateur, diminue de 1 (6 - 1 = 5) et on obtient un facteur égal à la nouvelle puissance, soit 5, au dénominateur.
est .
En effet, on peut imaginer que la fonction f corresponde à la septième formule avec u(x) = -2x + 3 et n = 6 car on a un quotient de fonctions.
Mettons le coefficient 7 a part.
On retrouve facilement u' en dérivant u : u'(x) = (-2x + 3)' = -2
Cependant, ici, nous n'avons pas de -2 au numérateur. Il faut faire en sorte de l'avoir. On va donc multiplier le tout par
pour avoir ce u'(x) = -2 au numérateur. Cela ne va rien changer car en réalité on multiplie par 1: .
Maintenant on peut appliquer la formule
car la fonction est de la forme :
Avec u(x) = -2x + 3 et n = 6.
On laisse le facteur
à part.
Appliquons la.
Notons bien que la puissance, comme elle se trouve au dénominateur, diminue de 1 (6 - 1 = 5) et on obtient un facteur égal à la nouvelle puissance, soit 5, au dénominateur.
Ce dernier exemple est primordial. Vous devrez appliquer la même méthode à chaque fois, quand vous avez des fonction u(x).
Voici les étapes que je résume pour vous :
- Vous trouvez la formule à appliquer en regardant si c'est un quotient, un produit, ou s'il y a une racine sur une fonction au dénominateur.
- Trouver la fonction u(x).
- Calculer la dérivée de cette fonction, soit u'(x), et essayer de multiplier la fonction par un nombre afin de faire apparaitre la forme que vous souhaitez.
- Appliquer bêtement la formule sur la fonction sans le coefficient (celui qui vous à aider à avoir la bonne forme).
Si vous savez faire ça, vous avez compris ce chapitre.
Quelques exercices sur Tableau des primitives usuelles :