Suite géométrique

Après l'arithmétique, voici la suite géométrique. Un cours dans lequel je vous dis tout sur cette dernière : définition, propriétés, somme des termes et bien sûr des exemples.

Une autre catégorie de suite à présent, les suites dites géométriques.

Définition

Suite géométrique

On appelle suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q la suite définie par :

définition suite géométrique

Puis-je avoir une définition concrète pour cette catégorie de suite aussi s'il-vous-plaît ?

Si c'est demander si poliment.

Exemple

Soit la suite numérique u_n définie par :

etude d'une suite géométrique

Cette suite est une suite géométrique de raison 2.
Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,

u₀ = 4
u₁ = 2 × u₀ = 2 × 4 = 8
u₂ = 2 × u₁ = 2 × 8 = 16
u₃ = 2 × u₂ = 2 × 16 = 32
u₄ = 2 × u₃ = 2 × 32 = 64

Que remarquez-vous ici ?
Le quotient de deux termes consécutifs est constant et égal à la raison 2. On multiplie de 2 à chaque u_n suivant.

Il existe aussi des propriétés pour calculer le 1000^ème terme sans passer par les 1000 premiers.

Propriétés

Propriétés des suites géométriques

Si u est une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, alors :

u_n = u₀ qⁿ

Si u est une suite géométrique, alors pour tout n ≥ p,

u_n = u_p q^{n - p}

Exemple

Dans l'exemple précédent, en utilisant la première formule, vous pouvez trouver le u₄ par exemple :

u₄ = u₀ × 2⁴ = 4 × 16 = 64

Ou en utilisant la deuxième :

u₄ = u₂ × 2^{4 - 2} = 16 × 2² = 16 × 4 = 64

Il y a également une formule pour calculer la somme de tous les termes d'une suite géométrique. La voici.

Propriété

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit u une suite géométrique.
La somme des termes de cette suite est donnée par :

somme d'une suite géométrique

Vous pouvez aussi réutilisez directement cette formule. Mais il faut que vous la compreniez aussi bien que la précédente pour les suites arithmétiques.

Exemple

Soit la suite numérique u_n définie par :

exemple de somme d'une suite géométrique

Cette suite est géométrique de raison 1/3.
Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.

calcul d'une somme d'une suite géométrique

La quantité

est tellement réduite que

.
On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite u_n en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.

Remarque

On peut vous demander de montrer qu'une suite v_n définie en fonction d'une autre suite (u_n) est géométrique.
Dans ce cas, Il suffit de montrer qu'il existe q ∈ ensemble des réels

* tel que v_{n + 1} = qv_n.

Je vais vous donner un exemple pour vous montrer les directives à suivre.

Exemple

Soit la suite numérique u_n définie par :

exemple suite géométrique

Nous allons montrer que la suite v_n = u_n - 3 est géométrique.
Il suffit donc de montrer qu'il existe q ∈ ensemble des réels

* tel que v_{n + 1} = qv_n.
On part toujours de v_{n + 1},

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 3 = 2u_n - 3 - 3 = 2u_n - 6

On a utilisé la formule v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1 et remplacé les n par des n + 1.

v_n = u_n - 1

Or :

v_n = u_n - 3 ⇔ u_n = v_n + 3

Donc :

v_{n + 1} = 2u_n - 6 = 2(v_n + 3) - 6 = 2v_n + 6 - 6 = 2v_n

Conclusion : v_n est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme :

v₀ = u₀ - 3 = 1 - 3 = -2

On peut alors écrire la chose suivante :

v_n = (-2) × 2ⁿ

Quelques exercices sur Suite géométrique :