Cours

Propriétés d'une suite

Cours de maths terminale ES

On termine ce cours sur les suites numériques avec les propriétés de variations et d'extremum des suites. Eh oui, parce-que les suites aussi ont des variations. C'est ici que je vous montre comme les déterminer.

1 - Variations d'une suite numérique

Comme les fonctions, les suites ont des variations.

Définitions

Variations d'une suite numérique

 Soit un une suite numérique.
  • La suite (un) est dite croissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≤ un + 1

  • La suite (un) est dite strictement croissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un < un + 1

  • La suite (un) est dite décroissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≥ un + 1

  • La suite (un) est dite strictement décroissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un > un + 1

  • La suite (un) est dite stationnaire si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un = un + 1

Le symbole ∀ signifie "pour tout".

Remarque

Pour une suite numérique, on ne dit pas "constante" mais "stationnaire".

Point méthode : Pour déterminer les variations d'une suite numérique, on calcule la quantité un + 1 - un,

  • Si un + 1 - un ≥ 0, la suite (un) est croissante,

  • Si un + 1 - un > 0, la suite (un) est strictement croissante,

  • Si un + 1 - un ≤ 0, la suite (un) est décroissante,

  • Si un + 1 - un < 0, la suite (un) est strictement décroissante,

  • Si un + 1 - un = 0, la suite (un) est stationnaire.

Exemple

La suite numérique un définie par un = n² est croissante.
En effet :

un + 1 - un = (n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1 ≥ 0


Car n est un naturel.
Donc la suite un est croissante.

Remarque

Une suite n'est pas forcément croissante ou décroissante. Parfois, elle peuvent être ni croissante, ni décroissante. Un exemple type est la suite un = (-1)n.

2 - Extremum d'une suite numérique

Qui dit variations, dit extremum.

Définitions

Extremum d'une suite numérique

 Soit un une suite numérique.
  • La suite (un) est majorée si :

    ∃ M ∈ ensemble des réels / ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≤ M


    M est appelé le majorant.

  • La suite (un) est minorée si :

    ∃ m ∈ ensemble des réels / ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≥ m


    m est appelé le minorant.

  • Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée.

Le symbole ∃ signifie "il existe" et le symbole / signifie "tel que".

Les notions de majoration et de minoration pour les suites numériques sont les mêmes qui pour les fonctions.


Quelques exercices sur Propriétés d'une suite :