On commence par des petits rappels sur les probabilités avec en particuliers : le langage des ensembles, celui des probabilités, la définition et les propriétés de bases des probabilités.
On commence ce chapitre sur les probabilités en rappelant quelques notions vues dans les années précédentes. Parmi elles, le langage des ensembles et celui des probabilités et des événements.
Ensembles
On commence par des rappels sur les ensembles, indispensables pour apprendre à calculer des probabilités.
Définitions
Ensembles
Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E.- L'ensemble A ∩ B est l'ensemble des éléments de E commun à A et B.
- L'ensemble A ∪ B est l'ensemble des éléments de E qui appartiennent soit à A soit à B.
- L'ensemble A est l'ensemble des éléments de E qui n'appartient pas à A.
- Card(A) est le nombre d'éléments de A.
Je suis sûr que vous vous en souveniez.
Vocabulaire de probabilités
On rappelle à présent quelques mots de probabilités dans cette partie.
Définitions
Vocabulaire des probabilités
- Expérience aléatoire ou éventualité : Une expérience aléatoire ou éventualité est une expérience dont le résultat est l'effet du hasard.
- Univers : L'univers est l'ensemble que l'on note Ω de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
- Evénement : Un événement est une partie de Ω.
- Evénement élémentaire : Un événement élémentaire est un singleton de Ω.
- Evénement contraire : Un événement contraire d'un événement A, noté A, est la partie complémentaire de A dans Ω.
- Evénement incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.
Encore et toujours des rappels... Vous vous en souveniez ? Si si, c'est obligé !
Exemple
- C'est une éventualité.
- L'univers est : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
- Soit A l'événement "obtenir un chiffre multiple de 2", alors : A = {2; 4; 6}.
- Le singleton {3} est un événement élémentaire du jeu de dés.
- Si A = {2; 4; 6}, alors A = {1; 3; 5}.
- Les événements A = {2; 5; 6} et B = {1; 3} sont incompatibles car ils n'ont aucun chiffres en commun.
Définition de la probabilité
Bon, on est dans le chapitre sur les probabilités mais sauriez-vous définir ce terme de "probabilité" ? C'est ce qui fait l'objet de cette section de cours.
Définition
Probabilité
Soit un univers Ω ayant n éléments : Ω = {a1; a2; ...; an}.Définir une probabilité sur Ω c'est associer à chaque élément {ai} un réel positif pi tels que leur somme vaut 1 :
On dit alors que la probabilité de l'événement élémentaire ai est pi.
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dans A.
Exemple
Si on a un événement A = {a1; a2; ...; an}, alors la probabilité de A vaut :
Propriétés des probabilités
Il est l'heure de vous répéter les différentes propriétés de base relatives aux probabilités. Allons-y.
Propriétés des probabilité
- La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
- p(∅) = 0.
- p(Ω) = 1.
- p(A) = 1 - p(A).
- p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B).
Maintenant que je vous ai tout rappeler, on peut passer à la partie principal du cours de cette année : les probabilités conditionnelles.
Quelques exercices sur Rappels de probabilités :