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Théorème des valeurs intermédiaires

Cours de maths terminale S

Un des théorèmes les plus importants de cette année de terminale est celui que nous allons apprendre dans ce cours : le théorème des valeurs intermédiaires. Vous devez le connaître mais surtout le comprendre et savoir l'appliquer dans les exercices du Bac.

Voici un des grands théorèmes de Terminale. C'est absolument sûr que vous aurez une question en rapport à l'épreuve de Juin prochain.
Je vous donne le théorème, suivi de son corollaire.

Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soient deux réels a et b dans I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

théorème des valeurs intermédiaires

Corollaire

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a, b].

Attention, il faut absolument une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Qu'es-ce que cela veut dire ? Cela veut dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur [a, b] et que sur cet intervalle, on peut tracer la fonction f sans lever le crayon.
Dans ces conditions là, pour tous les réels k compris dans l'intervalle [f(a), f(b)], image de l'intervalle [a, b], alors ce k admet un unique antécédent. La fonction passe obligatoirement une fois et une seule fois par ce k.

Regarde bien la figure précédente.
On a pris un intervalle [a, b] et l'intervalle [f(a), f(b)] qui n'est rien d'autre que l'image de l'intervalle [a, b].
La fonction représentée est continue et strictement monotone, en l'occurrence croissante ici.
On voit très bien que n'importe quel k compris entre f(a) et f(b) admet un antécédent par la fonction f. Vous n'avez qu'à essayer. Prenez un autre k dans l'intervalle [f(a), f(b)]. Il aura toujours un et un seul antécédent par f.

Je vais vous donner une exemple important. C'est exactement ce qu'on vous demandera de faire le jour J.

Exemple

Soit f la fonction continue définie sur [-3; 7].
On donne le tableau de variation de la fonction f ci-dessous.

exemple théorème des valeurs intermédiaires


Combien de solution admet l'équation f(x) = 0 ?

  • Premièrement, f est continue sur [-3; 7], comme ça on l'a dit.

  • On cherche f(x)=0, donc on va chercher dans la ligne du bas du tableau de variation.

  • Or, 0 ∈ [-3; 7] (attention à l'ordre des nombres dans un intervalle, le plus petit d'abord). Cela correspond à l'intervalle de x ∈ [-3; 1].
  • La fonction f est strictement décroissante sur [-3, 1].
  • On a toutes les conditions. Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires : L'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [-3; 1].
    Mais la question est posée sur l'intervalle [-3; 7]. Il faut donc vérifier si l'équation admet une autre solution dans l'intervalle restant, soit [1; 7].
    Regardons. Non, f(x) ne passe plus par 0. En effet, elle part de -3 jusque -1, puis de -1 à -2. Donc sans passer par 0.

  • Conclusion : L'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur [-3; 7].


Quelques exercices sur Théorème des valeurs intermédiaires :