Notation exponentielle d'un nombre complexe

1 - Définition de la notation exponentielle

Mélangeons la trigonométrie et les nombres complexes, on obtient une nouvelle notation pour un nombre complexe : la notation exponentielle.

Définition

Notation exponentielle d'un nombre complexe

Soit f la fonction de dans définie par :


Cette fonction vérifie la propriété suivante : pour tous réels θ et θ', f(θ + θ') = f(θ)f(θ'). Cela se vérifie aisément.

Admettons que la fonction f soit dérivable. Sa dérivée est : f '(x) = -sin θ + icos θ et donc f'(0) = i.
Par analogie avec la fonction exponentielle, on écrit alors :

e^iθ = cos θ + i sin θ

Soit z un nombre complexe non nul d'argument θ et de module r (arg(z) = θ et |z| = r), alors on appelle forme exponentielle de z :

z = r(cos θ + i sin θ) = re^iθ

Vérifions juste une chose.
Soient θ et θ' deux réels et f la fonction de dans définie par : .

2 - Propriétés de la notation exponentielle

Les propriétés suivantes sont de simples propriétés de la fonction exponentielle. Vous ne devez avoir aucune difficulté à les comprendre.

Propriétés

Propriétés de la notation exponentielle

Pour tout θ, θ' ∈ ,

3 - Exponentielle et géométrie

Utilisons cette notation pour introduire un peu la notion de géométrie à travers la propriété suivante.

Propriété

Equation paramétrique complexe

Soient un cercle de centre O d'affixe ω et de rayon r et un point M d'affixe z.

M ∈ ⇔ ∃ θ ∈ ]-π; π[ / z = ω + ze^iθ

L'équation z = ω + ze^iθ est appelée équation paramétrique complexe du cercle .

C'est normal que cela soit encore un peu abstrait pour vous.
Tachez de savoir que l'équation paramétrique complexe d'un cercle de centre O d'affixe ω et de rayon r est : z = ω + ze^iθ et regardez l'exemple qui suit.

Exemple

Déterminer le lieu géométrique suivant tel que pour tout point M du plan d'affixe z :

{M(z) ∈ P, |z + 1 - 4i| = 3}

Essayons de retrouver la forme z = ω + ze^iθ.

{M(z) ∈ P, |z + 1 - 4i| = 3} = {M(z) ∈ P, |z - (- 1 + 4i)| = 3} = {M(z) ∈ P, AM = 3} =

Avec A(-1; 4).
On a bien : |z - (-1 + 4i)| = AM car l'affixe de A est z' = -1 + 4i et l'affixe de M est z. On calcul donc le module de AM en faisant : |z - (-1 + 4i)|.
L'ensemble recherché est le cercle de centre A et de rayon 3.