Argument d'un nombre complexe

Voici un cours sur l'argument d'un nombres complexe dans lequel je vous donne la définition de l'image et de l'affixe d'un complexe et celle de son argument. Ensuite, je vous donne les propriétés des arguments des nombres complexes, sans oublier la forme trigonométrique d'un nombre complexe

1 - Image et affixe d'un nombre complexe

Voici une toute petite interprétation géométrique de l'ensemble complexe.

Définition

Image et affixe d'un nombre complexe

A tout nombre complexe z = a + ib, on associe un point M du plan, appelé image de z, de coordonnées (a; b).
A tout point M(a; b) du plan, on associe un nombre complexe z = a + ib appelé affixe de z.

On prend un noble complexe z = a + ib. Le point M qui a pour coordonnées (a; b) a en fait pour abscisse la partie réelle de z et pour ordonnée la partie imaginaire de z.
Prenons un exemple.

Exemple

Soit un point M de coordonnées (2; 1). Le nombre complexe associé est z = 2 + i.

affixe d'un nombre complexe

On trace le segment [OM].
Sachez que la longueur OM n'est rien d'autre que le module du nombre complexe z associé à M.
L'angle que le segment [OM] fait avec l'axe des abscisse est appelé argument de z.

2 - Argument d'un nombre complexe - Définition

Voici la définition de l'argument d'un nombre complexe.

Définition

Argument d'un nombre complexe

Soit z = a + ib un nombre complexe.
On appelle argument du nombre complexe z ≠ 0, noté arg(z), l'angle θ défini par :

arguement d'un nombre complexe

Je préfère me répéter : c'est l'angle que fait le segment [OM], M étant le point du plan associé au nombre complexe z, avec l'axe des abscisses.

Et comment on calcul l'angle θ ?

On a des cosinus et des sinus, utilisons le cercle trigonométrique.

Exemple

Quel est l'argument du nombre complexe z = 1 + i ?

Notons θ l'argument du nombre complexe z.
On applique les formules précédentes :

exemple d'argument d'un nombre complexe

Quel est l'angle sont le cosinus et le sinus sont égaux à

?
Pour ceux qui connaissent ces tables trigonométriques, c'est l'angle

.
Donc :

calcul d'un argument complexe

Un nombre complexe peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique.

Définition

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Tout nombre complexe z non nul s'écrit sous sa forme trigonométrique :

z = |z|(cos θ+ isin θ)

3 - Propriétés des arguments des nombres complexes

Tout un tas, encore, de propriétés sur l'argument d'un nombre complexe que l'on sait parfaitement retrouver en réfléchissant un tout petit peu.

Propriétés

Propriétés des arguments des nombres complexes

Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.
propriétés des arguments des nombres complexes

N'oubliez jamais que quand on parle d'argument en complexe, on parle d'angle en géométrie.

Attardons-nous sur une propriété en particulier : arg(zⁿ) = narg(z). Cela ne vous rappelle pas une certaine fonction exponentielle ?

Quelques exercices sur Argument d'un nombre complexe :