Il existe trois sortes de transformation, vous les connaissez : translation, homothétie et rotation. Mais avec les nombres complexes, ça donne quoi ? Vous ne devez absolument pas louper cette partie, c'est important pour le Bac.
Nous connaissons les différentes transformations géométriques déjà. Pourquoi ne pas les traduire en complexe ?
Propriétés
Transformations géométriques et nombres complexes
Soit un point M du plan, d'affixe z.- Translation : Soit
un vecteur d'affixe a.
Alors, l'image de M par la translation de vecteur est un point M' d'affixe z' = z + a.
La translation de vecteur s'écrit : z' = z + a - Homothétie : Soient O un point du plan, d'affixe ω, et k un réel non nul.
Alors, l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k est un point M' d'affixe z' = k(z - ω) + ω.
L'homothétie de centre O(ω) et de rapport k s'écrit : z' - ω = k(z - ω) - Rotation : Soient O un point du plan, d'affixe ω, et θ un réel.
Alors, l'image de M par la rotation de centre O et d'angle θ est un point M' d'affixe z' = eiθ(z - ω) + ω.
La rotation de centre O et d'angle θ s'écrit : z' - ω = eiθ(z - ω).
En connaissant la définition de chacune de ces transformation, cela se comprend parfaitement.
Par exemple, pour l'homothétie.
Soit h une homothétie de centre O, d'affixe ω et de rapport k réel non nul.
Soit M', d'affixe z', l'image d'un point M, d'affixe z, par h. Alors, par définition, on a : 
.
Traduisons cette égalité en complexe et on aura fini pour aujourd'hui :
Je vous laisse le soin de le refaire pour la translation et la rotation.
Faites-le, c'est important. D'ailleurs, vous n'avez pas vraiment le choix vu que ça peut vous être demandé vers la fin du mois de Juin. Je dis ça, je dis rien.
Quelques exercices sur Transformations géométriques et nombres complexes :