Il est temps de vous montrer comment prouver qu'une suite est arithmétique à partir de sa définition.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le signe de la dérivée suivante, définie sur R - {-1} par :
| f'(x) = | 1 - x² |
|---|---|
| (1 + x)³ |
Rappeler le domaine de dérivabilité de f
On a un dénominateur à la dérivée de la fonction f. Il va donc falloir restreindre l'étude du signe de la dérivée à son domaine de dérivabilité.
On sait que lorsque l'on a une somme, un produit, une composée ou un quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions usuelles, le domaine de dérivabilité est très souvent le même que le domaine de définition.
Or, la fonction dérivée f' est définie sur R - {-1} (l'ensemble des réels privé de la valeur -1), on étudie donc son signe sur ce domaine.
Calculer un+1 - un
Pour tout entier n appartenant à l'ensemble des naturels, on calcule d'abord la différence un+1 - un.
Soit n un entier naturel. Calculons :
un+1 - un = [n² + 6n + 9 - n² - 2n - 1] - [n² + 4n + 4 - n²]
un+1 - un = [4n + 8] - [4n + 4]
un+1 - un = 4n + 8 - 4n - 4
un+1 - un = 4
Conclure que un est arithmétique
Maintenant que l'on a fait le calcul un+1 - un et que l'on a trouvé un nombre naturel, on peut conclure quant à la nature de la suite un.
S'il existe un réel r, tel que ∀ n ∈ N, un+1 - un = r.
Donc, la suite un est une suite arithmétique.
On précise évidemment la valeur de sa raison r (le résultat de la différence calculée précédemment) et de son premier terme (en général u0).
Attention
Donc, la suite un est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme :