Et si nous mettions en relation les intégrales et les primitives ? C'est le but de ce cours de maths dans lequel je vous donne le lien entre ces deux notions apprises cette année.
Enfin ! Je vais vous apprendre à calculer des intégrales. Regardez bien et savourez.
Théorème
Théorème des intégrales
Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I.On a :
On calcule la primitive de la fonction f, puis on fait une simple soustraction en fonction des bornes de l'intégrale.
Je vous avais parlé de ce dx. En fait, cela signifie que l'on primitive par rapport à la variable x, c'est tout.
Remarque
Deux remarques.
- Faites bien attention, c'est F(b) - F(a) et non le contraire.
- Quand vous calculerez les primitives de fonctions pour déterminer une intégrale, ne prenez plus en compte les constantes d'intégrations car après avoir fait la soustraction, elles se simplifieront.
Génial. Calculons maintenant ensemble notre première intégrale.
Exemple
Soit la fonction f(x) = 2x² + 1. Calculer l'intégrale de f entre 1 et 3.
D'abord, on utilise les propriétés pour décomposer cette intégrale.
Deux primitives à calculer ici : celle de la fonction x² et celle de la fonction constante égale à 1.
Or, une primitive de la fonction carré est
et une primitive de 1 est x.
Donc :
Cette intégrale représente l'aire sous la courbe représentative de la fonction f, entre les droites d'équations x = a et x = b et l'axe des abscisses.
D'abord, on utilise les propriétés pour décomposer cette intégrale.
Deux primitives à calculer ici : celle de la fonction x² et celle de la fonction constante égale à 1.
Or, une primitive de la fonction carré est
et une primitive de 1 est x.
Donc :
Cette intégrale représente l'aire sous la courbe représentative de la fonction f, entre les droites d'équations x = a et x = b et l'axe des abscisses.
Voilà. Maintenant vous êtes capable de calculer n'importe quelle intégrale, du moment que vous êtes au point sur le chapitre des primitives.