Voici un cours sur les variables aléatoires avec au programme : la définition, la loi de probabilité, les formules d'espérance, de variance et d'écart-type.
Dans ce cours sur les variables aléatoires, je vais vous apprendre des formules importantes en probabilités : l'espérance, la variance et l'écart-type. Ces mots ne vous sont pas inconnus ? Normal, vous les avez déjà utilisé en statistiques durant les années précédentes. On commence ?
Définition d'une variable aléatoire
Commençons donc par la définition d'une variable aléatoire.
Définition
Variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.Loi de probabilité
Et la loi de probabilité maintenant. Vous verrez, vous connaissez déjà.
Propriété
Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs :La loi de probabilité de X associe à chaque réel xn la probabilité P(X = xn).
Exemple
L'univers est l'ensemble des 32 cartes.
On définit la variable aléatoire X : tirer un As rapporte 10, tirer une figure rapporte et tirer une autre carte ne rapporte rien.
Les valeurs prises par la variable aléatoire sont : 0; 1; 10, c'est-à-dire :
On a alors :
{X = 10} = {As de ♥; As de ♦; As de ♣; As de ♠}
{X = 1} = {toutes les figures}
{X = 0} = {toutes les cartes sauf les As et les figures}
En probabilités, cela donne :
P({X = 10}) = 4/32 = 1/8
P({X = 1}) = 12/32 = 3/8
P({X = 0}) = 16/32 = 1/2
On représente généralement une loi de probabilité dans un tableau, comme ceci :
| xn | 0 | 1 | 10 |
| P({X = xn}) | 1/2 | 3/8 | 1/8 |
Espérance
Définissons à présent l'espérance d'une variable aléatoire.
Définition
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :
Sans le symbole de somme, cela donne ceci :
Petite propriété en plus.
Propriété
Propriété de l'espérance
Pour tous réels a et b :Variance
La variance.
Définition
Variance
La variance d'une variable aléatoire X est le réel :
En fait, l'expression de la variance est celle-ci :
Donc, avant de pouvoir calculer la variance d'une variable aléatoire, il va falloir calculer son espérance.
Propriété
Propriété de la variance
Pour tous réels a et b :Ca peut toujours servir...
Ecart-type
Une dernière petite définition, celle de l'écart-type.
Définition
Ecart-type
L'écart-type d'une variable aléatoire X est le réel :Donc, avant de pouvoir calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, il va falloir calculer sa variance après avoir préalablement calculer son espérance.