On commence pour faire une figure propre et détaillée.
Les droites (MB) et (MC) sont toutes les deux parallèles à la droite (AI).
Or, on sait que si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles.
Donc, les droites (MB) et (NC) sont parallèles.
Dans les triangles ABC et BCM, les droites (MB) et (AI) sont parallèles et la droite (AI) passe par le milieu I de [BC].
Donc, d'après le théorème des milieux, le point A est le milieu du côté [MC].
De même, le point A est le milieu du segment [BN].
On considère les triangles AMN et ABC de sommet commun A.
Le point A est le milieu de [MC] et de [BN].
Donc, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Dans le quadrilatère BMNC, les droites (MB) et (NC) sont parallèles et également (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, on sait qu'un quadrilatère dont les côtés deux à deux opposés sont parallèles est un parallélogramme.
Donc, le quadrilatère BMNC est un parallélogramme.