Soit la fonction polynôme P suivante : P(x) = x³ - 5x² + 3x + 1.
Ce polynôme admet trois racines que l'on note a, b et c.
Ce polynôme admet trois racines que l'on note a, b et c.
-
Ecrire en fonction de a, b et c, le polynôme P sous sa forme la plus factorisée.
Si on connait son cours, on sait répondre à cette question.
P(x) = (x - a)(x - b)(x - c). -
Montrer que :
- a + b + c = 5,
- ab + bc + ac = 3,
- abc = -1.
Développons l'expression trouvée à la question précédent. On a que cela à faire.
P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)
P(x) = (x2 - bx - ax + ab)(x - c) = x3 - cx2 - bx2 + bcx - ax2 + acx + abx + abc
On range bien tout cela en factorisant.
P(x) = x3 - cx2 - bx2 + bcx - ax2 + acx + abx + abc
P(x) = x3 - x2(a + b + c) + x(bc + ac + ab) + abc
On identifie avec le polynôme P de l'énoncé.
P(x) = x3 - 5x2 + 3x + 1
P(x) = x3 - x2(a + b + c) + x(bc + ac + ab) + abc
Donc : a + b + c = 5, bc + ac + ab = 3 et abc = - 1. -
Sachant que b = 2 - √5 et b = 1, calculer c.
Utilisons une des trois égalités. La première, c'est la plus simple.
a + b + c = 5 ⇔ 2 - √5 + 1 + c = 5
⇔ c = 5 - 1 - 2 + √5
⇔ 2 + √5