Les points A' et C' sont les images respectives de A et C par la symétrie axiale d'axe (BD).
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Démontrer que le point O est le milieu du segmenet [A'C'].
On sait que le segment [A'C'] est l'image du segment [AC] par la symétrie axiale d'axe (BD).
De plus, O est le milieu de [AC].
Or, la symétrie axiale conserve les milieux.
Donc, le milieu du segment [A'C'] est l'image du point O par la symétrie axiale d'axe (BD).
Mais comme O ∈ (BD), son image est lui-même.
D'où : O est le milieu de [A'C']. -
Démontrer que A'C' = AC.
On sait que le segment [A'C'] est l'image du segment [AC] par la symétrie axiale d'axe (BD).
Or, la symétrie axiale conserve les longueurs.
Donc : A'C' = AC. -
Quelle est la nature du quadrilatère AC'CA' ?
D'après la question 1, on sait que les diagonales [AC] et [A'C'] du quadrilatère AC'CA' se coupent en leur milieu O.
Donc, le quadrilatère AC'CA' est un parallélogramme.
De plus, ces diagonales sont de même longueur.
Or, un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur (et se coupent en lieu milieu) est un rectangle.
Donc, le quadrilatère AC'CA' est un rectangle.