Exercices

Convexité et point d'inflexion d'une fonction

Correction exercice terminale ES
Soit la fonction f définie par : f(x) = (5 + x)ln(x).
  • Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.

    La fonction logarithme est définie sur ]0; +∞[.
    Donc, le domaine de définition de la fonction f est :

    Df = ]0; +∞[


  • Calculer la dérivée de la fontion f.

    La fonction f est un produit de fonctions dérivables sur l'ensemble de définition ]0; +∞[.
    Donc, f est dérivable sur ]0; +∞[. On peut donc maintenant calculer sa dérivée. Bien qu'il y ait un logarithme, ce n'est rien d'autre qu'un produit, donc on utilise la formule de la dérivée d'un produit :

    (uv)' = u'v + uv'


    On pose :

    u = 5 + x
    v = ln(x)


    D'où les dérivées de u et v, deux fontions dérivables sur ]0; +∞[ :

    u' = 1
    v' = 1
    x


    On applique la formule :

    f(x)' = 1 × ln(x) + 5 + x
    x

    f(x)' = ln(x) + 5 + x
    x


  • Calculer la dérivée seconde de la fonction f.

    La fonction f' est une somme et quotient, dont le dénominateur ne s'annule pas, de fonctions dérivables sur l'ensemble de définition ]0; +∞[.
    Donc, f' est dérivable sur ]0; +∞[. On peut donc maintenant calculer sa dérivée. On utilise cette fois-ci la formule de la dérivée d'un quotient :

    dérivée d'un quotient


    Pour le quotient de la fonction f', on pose :

    u = 5 + x
    v = x


    D'où les dérivées de u et v, deux fontions dérivables sur ]0; +∞[ :

    u' = 1
    v' = 1


    On applique la formule pour calculer la dérivée seconde de la fonction f

    calcul de la dérivée d'un quotient


  • Etudier la convexité de la fonction f et donner ses éventuels points d'inflexions.

    Pour étudier la convexité de la fonction f, il faut étudier le signe de sa dérivée seconde.
    Cool, on vient de la calculer.
    Quand f ''(x) > 0 alors la fonction f est convexe et quand f ''(x) < 0 la fonction f est concave.

    On dresse donc le tableau de signes de f.

    tableau de signes


    Donc : la fonction f est concave sur ]0; 5[, convexe sur ]5; +∞[ et sa courbe représentative admet un point d'inflexion au point de coordonnées (5; 0).