Exercices

Etude de trois fonctions avec des exponentielles

Correction exercice terminale ES
Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par :
f(x) = ex - x²
  • En dérivant deux fois la fonction f, déterminer les variations de cette fonction sur son domaine de définition.

    Pour tout x ∈ [1; +∞[ :

    f '(x) = ex - 2x


    Et :

    f ''(x) = ex - 2


    Or, x ≥ 1, donc : exe car la fonction exponentielle est croissante.
    Ainsi ex - 2 ≥ e - 2 > 0 et f ''(x) > 0.
    Donc, f ' est strictement croissante sur [1; +∞[.
    Ainsi, si x ≥ 1, alors f '(x) > f'(1) et comme f '(1) = e - 2 > 0, on a f '(x) > 0 et donc f est strictement croissante sur [1; +∞[.


  • Déterminer le signe de f.

    Comme f est strictement croissante sur [1; +∞[ et u ≥ 1, alors :

    f(x)f(1)


    Or,

    f(1) = e - 1 > 0


    Donc f est positive sur [1; +∞[.


  • On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : g(x) = x e-x².
    On appelle Cg sa courbe représentative.
    Déterminer la limite de g en +∞.

    Pour tout x ∈ [1; +∞[ :

    f(x)>0
    f(x2) > 0
    ex2 > x4
    e-x2 < 1/x4
    xe-x2 < 1/x3


    Donc, si x ∈ [1; +∞[, alors :

    0 ≤ g(x) ≤ 1/x3


    D'après le théorème des gendarmes, comme :

    limite d'une fonction

    On a :
    limite


  • Justifier la décidabilité de g sur [0; +∞[ avant de déterminer ses variations sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.

    La fonction -x2 est dérivable sur [0; +∞[, la fonction e-x2 est dérivable sur [0; +∞[ comme composée de fonctions dérivables et enfin la fonction xe-x2, soit la fonction g, est dérivable sur [0; +∞[ comme produit de fonctions dérivables.

    On peut donc calculer sa dérivée.
    Pour tout x de l'intervalle [0; +∞[ :

    g'(x) = e-x2 - 2x2e-x2 = (1 - 2x2)e-x2


    Donc, f '(x) est du signe de (1 - 2x2) car e-x2 > 0 (c'est une exponentielle).


    racines et fonction


    On en déduit aisément le tableau de signes suivant.

    tableau de signes

    Nous lisons très bien que g est strictement croissante sur [0; √2/2] et strictement décroissante sur [√2/2; +∞].
    Voici donc le tableau de variations de la fonction g.

    tableau de variations


  • éterminer une équation de la tangente (T) à Cg au point d'abscisse 0.

    La fonction f est dérivable en 0, donc Cg admet au point d'abscisse 0 une tangente d'équation :

    y = g'(0)(x - 0) + g(0)


    Comme g'(0) = 1 et g(0) = 0, une équation de la tangente (T) à Cg au point d'abscisse x = 0 est donc :

    y = x


  • Tracer la droite (T) et la courbe Cf.

    courbe représentative


  • On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : h(x) = x³ e-x².
    On appelle Ch sa courbe représentative.
    Déterminer la limite de h en +∞ en utilisant la partie A.

    Pour tout x ∈ [1; +∞[ :

    f(x)>0
    f(x2) > 0
    ex2 > x4
    e-x2 < 1/x4
    x3e-x2 < 1/x


    Donc, si x ∈ [1; +∞[, alors :

    0 ≤ h(x) ≤ 1/x


    D'après le théorème des gendarmes, comme :

    limite d'une fonction

    On a :
    limite


  • Déterminer les variations de h sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.

    La fonction h est dérivable sur [0; +∞[, on peut donc la calculer.
    Pour tout x ∈ [0; +∞[ :

    h'(x) = 3x2e-x2 - 2x4e-x2
    h'(x) = x2e-x2(3 - 2x2)


    h'(x) est donc du signe de (3 - 2x2) car x2e-x2 > 0.
    Les racines du polynôme (3 - 2x2) se calculent facilement. Les voici : x1 = -√3/2 et x2 = √3/2.
    On en déduit le tableau de signes de la fonction h.

    tableau de signes

    On en déduit que h est strictement croissante sur [0; √3/2] et strictement décroissante sur [√3/2; +∞].


  • Déterminer les positions relatives de Cg et Ch.

    Pour déterminer la position relative de ces deux courbes, on étudie le signe de g(x) - h(x).
    Pour tout x ∈ [0; +∞[ :

    g(x) - h(x) = xe-x2 - x3e-x2 = x(1 - x2)e-x2


    Le signe de g(x) - h(x) est celui de x(1 - x2).
    Voici le tableau de signes correspondant.

    tableau de signes et positions relatives

    Donc : Cg est au dessus de Ch sur ]0;1[, Cg est en dessous de Ch sur ]1; +∞[ et les deux courbes se coupent aux points d'abscisses 0 et 1.


  • Tracer Cg et Ch.

    Voici les tracé dans un graphique.

    représentation graphique d'une fonction