Sudoku et probabilités

Amateur de sudoku, Hadrien s’entraîne très souvent. Il adore ce jeu.

50% des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 20% de niveau difficile.

Hadrien sait qu’il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 80% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 50% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 25% des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

Pour cet exercice, on considèrera les événements suivants :

- F : « la grille est de niveau facile »,
- M : « la grille est de niveau moyen »,
- D : « la grille est de niveau difficile »,
- R : « Hadrien réussit la grille » et R son événement contraire.

• Construire un arbre pondéré résumant la situation de l'énoncé.

  On peut, grâce aux données de l'énoncé, construire l'arbre pondéré représentant la situation :
  
  

  
  



• Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Hadrien la réussisse.

  On cherche P(F ∩ R).
  
  D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve :
  
  

  P(F ∩ R) = P(F) × P_F(R)
  P(F ∩ R) = 0,5 × 0,8 = 0,4
  
  La probabilité que la grille proposée soit facile et que Hadrien la réussisse est égale à 0,4.



• Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Hadrien ne la réussisse pas.

  On cherche P(D ∩ R).
  
  D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve :
  
  

  P(D ∩ R) = P(D) × P_D(R)
  P(D ∩ R) = 0,20 × 0,75 = 0,15
  
  La probabilité que la grille proposée soit difficile et que Hadrien ne la réussisse pas est égale à 0,15.



• Montrer que la probabilité que Hadrien réussisse la grille proposée est égale à 0,6.

  On cherche en réalité P(R).
  
  D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve trois chemins pour arriver à R :
  
  - P(F ∩ R) = 0,5 ×, 0,8 = 0,4
  - P(M ∩ R) = 0,3 ×, 0,5 = 0,15
  - P(D ∩ R) = 0,2 ×, 0,25 = 0,05
  
  
  Il suffit maintenant d'additionner ces probabilités :

  P(R) = P(F ∩ R) + P(M ∩ R) + P(D ∩ R)
  P(R) = 0,4 + 0,15 + 0,05
  P(R) = 0,6
  
  La probabilité que Hadrien réussisse la grille proposée est en effet égale à 0,6.



• Sachant que Hadrien n’a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau facile ?

  On cherche P_R(F).
  
  Or, si on connait son cours, on sait que :
  
  

  PR(F) =	P(R ∩ F)
  	P(R)

  
  
  Calculons P(R ∩ F) :
  
  P(R ∩ F) = 0,5 ×, 0,2 = 0,1
  
  Calculons à présent P(R) comme suit :
  
  P(R) + P(R) = 1
  P(R) = 1 - P(R)
  P(W) = 1 - 0,6
  P(W) = 0,4
  
  Maintenant, on peut appliquer la première formule pour calculer P_R(F).
  
  

  PR(F) =	0,1
  	0,4

  
  P_R(F) = 0,25
  
  Sachant que Hadrien n’a pas réussi la grille proposée, la probabilité que ce soit une grille de niveau facile est égale à 0,25.



• Hadrien a réussi la grille proposée. Son ami Jean pense que sa grille était facile.
  Dans quelle mesure a-t-il raison ? Justifier.

  On cherche P_R(F).
  
  Or, si on connait son cours, on sait que :
  
  

  PR(F) =	P(R ∩ F)
  	P(R)

  
  
  On a toutes les données (grâce aux questions précédentes) pour effectuer ce calcul :
  
  

  PR(F) =	0,4
  	0,6

  
  P_R(F) = 0,67
  
  Sachant que Hadrien a réussi la grille proposée, la probabilité que ce soit une grille de niveau facile est égale à 0,67.
  Donc, son ami Jean a 67% de chance d'avoir raison.