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En dérivant deux fois la fonction f, déterminer les variations de cette fonction sur son domaine de définition.
Pour tout x ∈ [1; +∞[ :
f '(x) = ex - 2x
Et :f ''(x) = ex - 2
Or, x ≥ 1, donc : ex ≥ e car la fonction exponentielle est croissante.
Ainsi ex - 2 ≥ e - 2 > 0 et f ''(x) > 0.
Donc, f ' est strictement croissante sur [1; +∞[.
Ainsi, si x ≥ 1, alors f '(x) > f'(1) et comme f '(1) = e - 2 > 0, on a f '(x) > 0 et donc f est strictement croissante sur [1; +∞[. -
Déterminer le signe de f.
Comme f est strictement croissante sur [1; +∞[ et u ≥ 1, alors :
f(x) ≥ f(1)
Or,f(1) = e - 1 > 0
Donc f est positive sur [1; +∞[. -
On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : g(x) = x e-x².
On appelle Cg sa courbe représentative.
Déterminer la limite de g en +∞.Pour tout x ∈ [1; +∞[ :
f(x)>0
⇔ f(x2) > 0
⇔ ex2 > x4
⇔ e-x2 < 1/x4
⇔ xe-x2 < 1/x3
Donc, si x ∈ [1; +∞[, alors :0 ≤ g(x) ≤ 1/x3
D'après le théorème des gendarmes, comme :
On a :
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Justifier la décidabilité de g sur [0; +∞[ avant de déterminer ses variations sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.
La fonction -x2 est dérivable sur [0; +∞[, la fonction e-x2 est dérivable sur [0; +∞[ comme composée de fonctions dérivables et enfin la fonction xe-x2, soit la fonction g, est dérivable sur [0; +∞[ comme produit de fonctions dérivables.
On peut donc calculer sa dérivée.
Pour tout x de l'intervalle [0; +∞[ :g'(x) = e-x2 - 2x2e-x2 = (1 - 2x2)e-x2
Donc, f '(x) est du signe de (1 - 2x2) car e-x2 > 0 (c'est une exponentielle).
On en déduit aisément le tableau de signes suivant.
Nous lisons très bien que g est strictement croissante sur [0; √2/2] et strictement décroissante sur [√2/2; +∞].
Voici donc le tableau de variations de la fonction g.
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Déterminer une équation de la tangente (T) à Cg au point d'abscisse 0.
La fonction f est dérivable en 0, donc Cg admet au point d'abscisse 0 une tangente d'équation :
y = g'(0)(x - 0) + g(0)
Comme g'(0) = 1 et g(0) = 0, une équation de la tangente (T) à Cg au point d'abscisse x = 0 est donc :y = x -
Tracer la droite (T) et la courbe Cf.
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On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : h(x) = x³ e-x².
On appelle Ch sa courbe représentative.
Déterminer la limite de h en +∞ en utilisant la partie A.Pour tout x ∈ [1; +∞[ :
f(x)>0
⇔ f(x2) > 0
⇔ ex2 > x4
⇔ e-x2 < 1/x4
⇔ x3e-x2 < 1/x
Donc, si x ∈ [1; +∞[, alors :0 ≤ h(x) ≤ 1/x
D'après le théorème des gendarmes, comme :
On a :
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Déterminer les variations de h sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.
La fonction h est dérivable sur [0; +∞[, on peut donc la calculer.
Pour tout x ∈ [0; +∞[ :h'(x) = 3x2e-x2 - 2x4e-x2
h'(x) = x2e-x2(3 - 2x2)
h'(x) est donc du signe de (3 - 2x2) car x2e-x2 > 0.
Les racines du polynôme (3 - 2x2) se calculent facilement. Les voici : x1 = -√3/2 et x2 = √3/2.
On en déduit le tableau de signes de la fonction h.
On en déduit que h est strictement croissante sur [0; √3/2] et strictement décroissante sur [√3/2; +∞]. -
Déterminer les positions relatives de Cg et Ch.
Pour déterminer la position relative de ces deux courbes, on étudie le signe de g(x) - h(x).
Pour tout x ∈ [0; +∞[ :g(x) - h(x) = xe-x2 - x3e-x2 = x(1 - x2)e-x2
Le signe de g(x) - h(x) est celui de x(1 - x2).
Voici le tableau de signes correspondant.
Donc : Cg est au dessus de Ch sur ]0;1[, Cg est en dessous de Ch sur ]1; +∞[ et les deux courbes se coupent aux points d'abscisses 0 et 1. -
Tracer Cg et Ch.
Voici les tracé dans un graphique.
