Dans ce cours je vous dis tout sur les suites arithmétiques : d'abord la définition, puis les propriétés et même la somme des termes.
On peut classer les suites numériques en fonction de l'évolution de leur terme.
Voici une définition des suites dites arithmétiques.
Définition
Suite arithmétique
On appelle suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r la suite définie par :
Qu'es-ce que cela veut dire concrètement ?
Je prend un exemple pour vous l'expliquer.
Exemple
Cette suite est une suite arithmétique de raison 5.
Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,
u1 = u0 + 5 = 1 + 5 = 6
u2 = u1 + 5 = 6 + 5 = 11
u3 = u2 + 5 = 11 + 5 = 16
u4 = u3 + 5 = 16 + 5 = 21
Que remarquez-vous ?
La différence de deux termes consécutifs est constante et égale à la raison 5. On augmente de 5 à chaque un suivant.
Ah, donc avec des suites arithmétiques nous allons pouvoir calculer le terme u1000 sans avoir à calculer les 1000 termes précédents?
OUI ! On peut le faite en utilisant seulement le u0 ou tout simplement, en prenant un autre terme de votre choix.
Propriétés
Propriétés des suites arithmétiques
- Si u est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors :
un = u0 + nr - Si u est une suite arithmétique, alors pour tout n ≥ p,
un = up + (n - p)r
Exemple
Ou en utilisant la deuxième :
On vous demandera souvent de calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
Leur somme ? Et comment je fais ça moi?
Ne paniquer pas, il y a une formule pour ça.
Propriété
Somme des termes d'une suite arithmétique
Soit u une suite arithmétique.La somme des termes de cette suite est donnée par :
Vous pouvez réutilisez directement cette formule. Néanmoins, il faut bien que vous la compreniez.
Le symbole
signifie la somme de 0 à n de un, c'est-à-dire u0 + u1 + u2 + ... + un.
La quantité (n + 1) signifie le nombre de terme (oui, tous les termes + le terme d'indice 0, ça fait n + 1).
Le u0 est le premier terme et un est le dernier.
Exemple
Cette suite est arithmétique de raison 4.
Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.
Il va falloir calculer le dernier terme voulu, soit
. Aucun problème pour cela, on a la formule.
Revenons à la formule de somme et concluons :
On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite un en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.