Dans ce cours méthode, découvrez comment déterminer le signe d'une dérivée, étape par étape, en énonçant d'abord le cours, puis en traçant le tableau de signes de la dérivée proposée.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le signe de la dérivée suivante, définie sur R - {-1} par :
| f'(x) = | 1 - x² |
|---|---|
| (1 + x)³ |
Rappeler le domaine de dérivabilité de f
On a un dénominateur à la dérivée de la fonction f. Il va donc falloir restreindre l'étude du signe de la dérivée à son domaine de dérivabilité.
On sait que lorsque l'on a une somme, un produit, une composée ou un quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions usuelles, le domaine de dérivabilité est très souvent le même que le domaine de définition.
Or, la fonction dérivée f' est définie sur R - {-1} (l'ensemble des réels privé de la valeur -1), on étudie donc son signe sur ce domaine.
Simplifier la dérivée de f
Calculons (mais surtout réduisons au maximum) l'expression de f'(x) afin d'obtenir une forme dont on sait déterminer le signe.
Je vous rappelle d'abord que l'on sait déterminer le signe :
- D'une expression affine,
- D'un trinôme du second degré,
- D'expressions incluant les fonctions logarithme, exponentielle, racine,
- D'un produit, quotient, composée de facteurs de ce type,
Or, dans l'expression de la dérivée f'(x), on reconnaît facilement une identité remarquable de la forme a² - b² = (a + b)(a - b), avec a et b deux réels. Ce qui donne ici :
On a donc :
| ∀ x ∈ R - {-1}, f'(x) = | (1 + x)(1 - x) |
|---|---|
| (1 + x)³ |
On simplifie lex expressions des numérateur et dénominateur par (1 + x), ce qui donne :
| ∀ x ∈ R - {-1}, f'(x) = | 1 - x |
|---|---|
| (1 + x)² |
Étudier le signe des facteurs de f'(x)
Si f'(x) est exprimé sous la forme d'un produit et/ou quotient de facteurs, comme c'est le cas dans cet exemple, pour étudier le signe de la dérivée, il suffit d'étudier le signe de chacun de ces facteurs.
Donc :
- Pour déterminer le signe d'une expression affine de type ax + b, on résout l'inéquation ax + b > 0.
- Pour déterminer le signe d'un trinôme du second degré, on calcule son discriminant δ.
On a :
- 1 - x>0 ⇔ x < 1
- ∀ x ∈ R - {-1}, (1 + x)² > 0 car une expression au carré est toujours positive.
Dresser le tableau de signes de f'(x)
On a plus qu'à récapituler les signes de chaque facteur composant f'(x) dans un tableau de signes pour en déduire le signe de f'(x) en fonction des valeurs de x :
