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Produit scalaire dans le plan : rappels de première

Cours de maths terminale S

Des petits rappels de première S sur le produit scalaire dans le plan avant d'attaquer les mêmes notions mais dans l'espace.

1 - Définitions du produit scalaire

Je vais vous (re)définir tout d'abord cette notion.

Définition

Produit scalaire

 Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire de vecteur u et vecteur v est un réel, que l'on note vecteur u.vecteur v, défini par :
  • Si vecteur u ≠ 0 et vecteur v ≠ 0 :

    définition produit scalaire.vecteur v = ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(vecteur u, vecteur v)

  • Si vecteur u et vecteur v sont nuls :

    vecteur u.vecteur v = 0

La notation ||vecteur u|| signifie la norme du vecteur vecteur u.
En réalité, ce n'est que le produit de la norme de vecteur u et de la norme de vecteur v que l'on multiplie par le cosinus de l'angle formé par ces deux vecteurs.
Si les deux vecteurs sont nuls, biensur leurs normes sont nulles, et donc leur produit scalaire aussi.

Remarque

On peut faire le produit scalaire avec un seul vecteur : vecteur u.vecteur u se note vecteur u² et est appelé carré scalaire.

Exemple

Soient deux vecteurs vecteur u et vecteur v avec ||vecteur u|| = 3, ||vecteur v|| = 4 et l'angle formé par ces deux vecteurs vaut soit 30°.

Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.

vecteur u.vecteur v = ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(vecteur u, vecteur v) = 3 × 4 × cos()


Or, cos() = , tout le monde le sait.

vecteur u.vecteur v = 3 × 4 × cos() = 12 × =

Le produit scalaire, comme je vous l'ai dit en introduction, permet de démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs.

Définition

Orthogonalité et produit scalaire

 Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs du plan.
Si vecteur u.vecteur v = 0, alors les vecteurs vecteur u et vecteur v sont orthogonaux.

Cela se voit très bien regardez.

Démonstration : Si le produit scalaire est nul, c'est soit que la norme de vecteur u est nulle, soit que celle de vecteur v est nulle, soit que le cosinus de l'angle formé par ces deux vecteurs est nul.
Or, si les normes des deux vecteurs étaient nulles, les vecteurs seraient forcément nul.
Donc, cela ne peut qu'être le cosinus qui soit nul.

propriété produit scalaire


Mais un angle de , c'est un angle droit !
Terminé.

Quand on fait le produit scalaire de deux vecteurs, c'est en fait une projection orthogonale de l'un sur l'autre.

Propriété

Propriété du produit scalaire

 Soient A,B et C trois points distincts du pal, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).

figure propriété produit scalaire


  • Si produit scalaire et sont de même sens :

    = AB × AH

  • Si et sont de sens opposés :

    produit scalaire dans le plan = -AB × AH

Tout est très clair, je n'ai rien à ajouter là dessus.
Passons à présent aux propriétés relatives au produit scalaire.

2 - Propriétés du produit scalaire

Elles sont nombreuses, et doivent toutes être comprises et connues par coeur.

Propriété

Coordonnées et produit scalaire

 Soient vecteur u de coordonnées (x,y) et vecteur v de coordonnées (x',y') dans la base orthonormale .
Alors :

vecteur u.vecteur v = xx' + yy'

On additionne les produits des coordonnées deux à deux.

Exemple

Soient deux vecteurs vecteur u(3, -4) et vecteur v(0, 3).
Alors :

vecteur u.vecteur v = 3 × 0 + (-4) × 3 = -12

Et maintenant, avec un réel.

Propriétés

Propriétés du produit scalaire

 Soient vecteur u, vecteur v et vecteur w trois vecteurs du plan et λ un réel.
On a les relation suivantes :
  • Commutativité du produit scalaire :

    commutativité du produit scalaire.vecteur v = vecteur v.vecteur u

  • Distribution :

    vecteur u.(vecteur v + vecteur w) = vecteur u.distribution produit scalaire + vecteur u.vecteur w

  • Multiplication par un réel :

    vecteur u.(λvecteur v) = λ(vecteur u.multiplication par un réel produit scalaire)

Tout cela paraissait évident, non ?

Alors continuons avec ces évidences.

Définition

Identités remarquables et produit scalaire

 Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs du plan.
On a les relations suivantes :

identités remarquables du produit scalaire

Ce ne sont que des vulgaires identités remarquables. Rien de plus, rien de moins.

Allez maintenant, appliquons tout cela !

3 - Applications du produit scalaire dans le plan

Plusieurs théorèmes célèbres sont issus de ce produit scalaire. Et oui, on ne fait rien qui ne sert à rien !

a - Théorème de la médiane

Théorème

Théorème de la médiane

 Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

figure théorème de la médiane


Pour tout point M du plan, on a les relations suivantes :

théorème de la médiane

Exemple

Calculer la longueur de la médiane du triangle ABM issue de M tel que AB = 4, AM = 3 et BM = 7.
Rien de plus simple, on applique tout bêtement.

exemple théorème de la médiane

b - Thorème d'Al Kashi

Vous connaissiez Pythagore en 4ème, mais son théorème n'est qu'un cas particulier de celui d'Al Kashi que je vais vous montrer tout de suite.

Théorème

Théorème D'Al Kashi

 Soit un triangle ABC avec AB = c, AC = b et BC = a.

figure théorème d'Al Kashi


On a les relations suivantes :

théorème d'Al Kashi

Rappelez-vous, pour appliquer le théorème de Pythagore, il nous faut un triangle rectangle, soit un angle droit, un angle de .
Et le cosinus d'un angle droit vous combien ? Il est nul.
Donc, si l'angle droit est en A, les formules se transforment en : a² = b² + c²

C'est le théorème de notre cher Pythagore, oui.

Grâce à ce théorème, en particulier, vous saurez calculer tous les angles d'un triangle en ayant juste la longueur de ces côtés. Tiens ! Faites-le.

c - Formule des sinus

Après les cosinus, les sinus ! Le produit scalaire nous donne des propriétés sur les sinus.

Propriété

Formule des sinus

 Soit un triangle ABC d'aire avec AB = c, AC = b et BC = a.

figure formule des sinus


On a les relations suivantes :

formule des sinus

Un nouvelle façon de calculer l'aire d'un triangle sans utilisée la base et la hauteur.

Exemple

Soit un triangle ABC construit comme dans la définition précédente, avec BC = a = 12, = 30° et = 60°.
Calculer le côté [AC].

Pour trouver b, on utilise la relation :

exemple formule des sinus


Or,

relation formule des sinus


Donc :

d - Distance d'un point à une droite

Je vais vous apprendre à calculer la distance d'un point du plan à une droite.

Propriété

Distance d'un point à une droite

 Soient distance à la droite D la droite d'équation ax + by + c = 0, avec a et b non nuls, et A(xA; yA) un point du plan.
La distance du point A à la droite distance à la droite D est la distance AH, avec H le projeté orthogonal de A sur distance à la droite D.
On a :

distance d'un point à une droite

C'est la fractions avec au numérateur les coordonnées du point A dans l'équation de la droite distance à la droite D, et au dénominateur les coefficient a et b de l'équation de la drotie distance à la droite D élevés au carré sous la racine.
N'ayez pas peur des valeurs absolues au numérateur, elle sont là pour que le tout soit positif, car une distance est toujours positive.

Exemple

Soient distance à la droite D la droite d'équation 4x + 5y - 1 = 0 et A(4; 0) un point du plan.

La distance de A à distance à la droite D est donc la distance AH, avec H le projeté orthogonal de A sur distance à la droite D.

caldul de la distance d'un point à une droite

e - Equations et produit scalaire

Deux propriétés sur les équations et l'on aura terminé pour ce chapitre.

Propriété

Equations et produit scalaire
  • La droite orthogonale à vecteur normal passant par A est :

    propriété équations

  • Le cercle de diamètre [AB] est :

    équations et produit scalaire

Le premier ensemble fait référence à la définition du produit scalaire suivante : si le produit scalaire de deux vecteurs est nul alors ces vecteurs sont orthogonaux.

La seconde fait référence à un triangle dans un cercle dont l'un des côtés est diamètre de ce cercle, ce triangle est forcément rectangle. Et bien ici, si les vecteurs et sont orthogonaux, cela signifie que le segment [AB] est diamètre d'un cercle.


Quelques exercices sur Produit scalaire dans le plan : rappels de première :