Produit scalaire dans l'espace

1 - Définitions du produit scalaire dans l'espace

Nous attaquons maintenant la partie dans l'espace. Vous allez voir, c'est presque pareil, à un axe prés.

Définition

Produit scalaire dans l'espace

Soient et deux vecteurs de l'espace.
Le produit scalaire de et dans l'espace n'est rien d'autre que le produit scalaire de et dans le plan contenant ces deux vecteurs.

Prenons un point A de l'espace. Il existe donc deux points, B et C, tels que : = et = .
Il existe forcément un plans qui contient les points A, B et C puisqu'un plan est formé par trois points distincts.
Le produit scalaire de et dans l'espace est donc le produit scalaire de et dans le plan contenant ces deux vecteurs.

Pour les coordonnées des vecteurs, c'est pareil que dans le plan, à ça prés.

Définition

Coordonnées et produit scalaire dans l'espace

Soient (x; y; z) et (x'; y'; z') deux vecteurs de l'espace. On a alors : . = xx' + yy' + zz'

Exemple

Soient les vecteurs (3; -1; 0) et (-2; 1; 5) dans l'espace.

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est :

. = 3 × (-2) + (-1) × 1 + 0 × 5 = -6 - 1 + 0 = -7

Et si ce produit scalaire est nul, on a aussi des vecteurs orthogonaux dans l'espace ?

Alors, oui. J'y reviens juste après ça. Ne bougez pas.

2 - Propriétés du produit scalaire dans l'espace

Les propriétés du produit scalaires dans l'espace sont les mêmes que celles dans le plan.

3 - Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace

Nous allons maintenant parler d'orthogonalité dans l'espace.

Propriété

Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace

Soient et deux vecteurs de l'espace.
Les vecteurs et sont orthogonaux si . = 0.

Soit un vecteur de l'espace et un point A.
L'ensemble des points M de l'espace vérifiant . = 0 est un plan passant par A et de vecteurs normal .

Deux plans et ' de vecteurs normaux respectifs et ' sont perpendiculaires si .' = 0.

Si on a une droite, de vecteur directeur et un plan , alors le vecteur est normal à ce plan s'il est perpendiculaire à toutes les droites contenues dans le plan.

Exemple

Les plans et ' de vecteurs normaux respectifs (-5;0;2) et '(-2; 6; -5) sont perpendiculaires.

En effet, calculons le produit scalaire de et '.

.' = (-5) × (-2) + 0 × 6 + 2 × (-5) = 10 + 0 - 10 = 0

Donc, les vecteurs et ' sont orthogonaux, et donc les plan et ' sont perpendiculaires.

Exemple

Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A(2; 3; 1) et de vecteur normal (-2; 1; 3).

Pour tout point M(x; y; z) de l'espace,



Donc, l'équation cartésienne du plan passant par A(2; 3; 1) et de vecteur normal (-2; 1; 3) est : -2x + y + 3z - 2 = 0.

4 - Applications du produit scalaire dans l'espace

a - Equation cartésienne dans l'espace

On va définir l'équation cartésienne d'un plan.

Définition

Equation cartésienne dans l'espace

Tout plan de l'espace, de vecteur normal (a; b; c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Réciproquement, toute équations de la forme ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan de l'espace de vecteur normal (a; b; c).

Exemple

Le vecteur directeur du plan, d'équation cartésienne 3x - 4z = 2, est le vecteur (3; 0; -4).

b - Distance d'un point à un plan

On va parler maintenant de distance d'un point à un plan.

Propriété

Distance d'un point à un plan

Soient le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 et A(x_A; y_A; z_A) un point de l'espace.
La distance du point A au plan est la distance AH, avec H le projeté orthogonal de A sur .
On a :

C'est la même formule que dans le plan, en rajoutant un axe, l'axe z.

Exemple

Soient le pan d'équation -x + 2y + 5z + 2 = 0 et A(5; 2; -1) un point de l'espace.

La distance de A à est donc la distance AH, avec H le projeté orthogonal de A sur .