Dans ce cours, je vous enseigne à résoudre une équation du second degré par une méthode simple : en fonction de la valeur du discriminant du polynôme associé.
Les polynômes peuvent être présent dans des équations.
Théorème
Equations du second degré
Soit l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 et Δ = b² - 4ac le discriminant de ax² + bx + c.- Si Δ < 0, alors l'équation n'admet pas de solution réelle.
- Si Δ = 0, alors l'équation admet une unique solution :
. - Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes :
.
A quoi va nous servir ce discriminant ?
Le discriminant vous servira pour déterminer les racines d'un polynôme du second degré. Un fois que vous les avez trouvé, vous pourrez donc factoriser ce polynôme par (x - 
), avec les racines trouvées. Vous pourrez alors résoudre l'équation.
Appliquons ce théorème sur un exemple pour mieux comprendre de quoi il s'agit.
Exemple
On vous demande de résoudre l'équation suivante :
x² - 3x + 1 = 0
Calculons le discriminant :
Δ = (-3)² - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5 > 0
Donc le polynôme x² - 3x + 1 a deux racines distinctes :
La valeur de √5 n'est pas exact, on laisse donc la racine telle quelle. Par contre, on calcule le reste :
Donc l'équation a deux solutions : x1 et x2.
Calculons le discriminant :
Donc le polynôme x² - 3x + 1 a deux racines distinctes :
La valeur de √5 n'est pas exact, on laisse donc la racine telle quelle. Par contre, on calcule le reste :
Donc l'équation a deux solutions : x1 et x2.
Remarque
Comme je l'ai dit plus haut, les racines trouvées grâce au discriminant peuvent nous aider à factoriser un polynôme.
Si on nous avait demander de factoriser le polynôme P(x) = x² - 3x + 1, on aurait eut :
La formule exacte serait :
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
Parfois même, on peut réussir à trouver les racines dites évidente d'un coup d'oeil (uniquement si elles sont très simple, comme 1 ou 0 par exemple).
Si on nous avait demander de factoriser le polynôme P(x) = x² - 3x + 1, on aurait eut :
La formule exacte serait :
Parfois même, on peut réussir à trouver les racines dites évidente d'un coup d'oeil (uniquement si elles sont très simple, comme 1 ou 0 par exemple).
Exemple
Les racines de P(x) = x² + x - 2 sont 1 et -2 car :
P(1) = 1² + 1 - 2 = 0
P(-2) = (-2)² + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
Donc, on peut factoriser facilement P : P(x) = (x - 1)(x + 2).
P(-2) = (-2)² + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
Donc, on peut factoriser facilement P : P(x) = (x - 1)(x + 2).