Cette partie va peut-être vous faire un peut peur mais ne vous inquiétez pas, je vais tout vous expliquer. Ce ne sont que des nouvelles choses, qui deviendront des évidences pour vous ensuite.
Combinaisons et coefficients binomiaux
Voici les définitions de combinaisons et de coefficient binomial.
Définitions
Combinaisons et coefficients binomiaux
Soient un ensemble E de cardinal n (toujours naturel) et p un entier naturel inférieur ou égal à n.Le nombre de parties de E possédant p éléments, appelées combinaisons de p éléments, est égal au coefficient binomial noté :
J'y viens dans les propriétés suivantes. Mais d'abord je vous rappelle comment se calcule un coefficient binomial.
| = |
n! |
|---|---|
| k!(n - k)! |
Second rappel :
Exemple
Définitions
Propriétés et formules des coefficients binomiaux
Soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n. On a alors les propriétés suivantes :
Triangle de Pascal
Voilà une partie interessante, vous allez aimer. Mais avant, une petite propriété, que vous n'allez pas aimer.
Définitions
Formule de Pascal
Soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel strictement inférieur à n.
De cette formule qui paraît compliquée, on construit le triangle de Pascal :
| n / p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
En fait, comment on remplie ce tableau, c'est très simple. Chaque case est l'addition de celle au dessus et celle à sa diagonale de gauche. Par exemple, on obtient 6 en faisant 3 + 3. Ou encore 4 en faisant 3 + 1.
Et à quoi sert ce triangle de Pascal au juste ?A vous aider à calculer des coefficients binomiaux ! En effet, chaque case représente le coefficient binomial suivant :
Ainsi, dans ce triangle, on a les valeurs suivantes :
