Découvrez comment calculer l'image d'un réel par une fonction dans ce cours méthode. On vous donne une fonction, il faut trouver l'image d'un nombre par une méthode simple.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le signe de la dérivée suivante, définie sur R - {-1} par :
| f'(x) = | 1 - x² |
|---|---|
| (1 + x)³ |
Rappeler le domaine de dérivabilité de f
On a un dénominateur à la dérivée de la fonction f. Il va donc falloir restreindre l'étude du signe de la dérivée à son domaine de dérivabilité.
On sait que lorsque l'on a une somme, un produit, une composée ou un quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions usuelles, le domaine de dérivabilité est très souvent le même que le domaine de définition.
Or, la fonction dérivée f' est définie sur R - {-1} (l'ensemble des réels privé de la valeur -1), on étudie donc son signe sur ce domaine.
Prenons un exemple simple : pour tout réel x, on a f(x) = x² + 2x - 1.
La question est la suivante : calculer l'image de 1 par la fonction f.
Identifier l'expression de f
Si on cherche l'image du nombre par f, il faut d'abord énoncé la fonction f.
D'après l'énoncé, on a, pour tout réel x : f(x) = x² + 2x - 1.
Vérifier que le réel appartient à l'ensemble de définition de la fonction
On vérifie maintenant que le réel dont on cherche l'image, à savoir 1, appartient bien au domaine de définition de la fonction f.
f est définie sur l'ensemble des réels, donc 1 appartient bien à l'ensemble de définition de f, à l'ensemble des réels.
On peut donc calculer l'image de 1 par f.
Calculer l'image
On calcule f(1) en remplaçant x par 1 dans l'expression de
f(x).
Je vous rappelle qu'un réel n'a qu'une seule image par une fonction.
Pour calculer l'image de 1 par f, on calcule donc f(1) :
Ce qui nous donne :
Ainsi, l'image de 1 par f est 2.