Soit la sphère de centre O et de diamètre [AB] suivante :
Le cercle C, de centre K et d'aire 25πcm², est formé par la section de la sphère avec un plan perpendiculaire à (AB).
On a : OK = 6cm.
Le cercle C, de centre K et d'aire 25πcm², est formé par la section de la sphère avec un plan perpendiculaire à (AB).
On a : OK = 6cm.
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Déterminer la longueur du rayon de C.
C'est une question inverse. En effet, nous avons l'aire et nous cherchons le rayon.
Il va donc falloir résoudre une simple équation.
Soit R le rayon du cercle C.
On sait que l'aire d'un cercle de rayon R est égale à : πR²
On a donc :
πR² = 25π
En simplifiant des deux côtés par π, cela donne : R² = 25.
Or, une longueur est toujours positive.
On a donc : R = 5cm. -
En déduire la longueur du rayon de la sphère.
Prenon M un point du cercle C.
On sait que [KM] est un rayon du cercle (forcément car 0 est le centre et M un point du cercle).
De plus, comme M appartient également à la sphère, [OM] est un rayon de la sphère.
On cherche donc la longueur OM, connaissant OK et KM.
Le plan sécant étant perpendiculaire à (AB), on en déduit que le triangle OKM est rectangle en K.
Appliquons donc le théorème de Pythagore :
OM² = KO² + KM²
Application numérique :
OM² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
Or, une longueur est toujours positive.
Donc : OM = √61 = 7,8cm