Relations de trigonométrie et triangle rectangle

Correction exercice 3ème

Pour savoir si un triangle est rectangle, on va bien sûr appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.
Mais avant cela, il nous faut les longueurs des trois côtés du triangle UVK.
Nous allons donc utiliser les formules trigonométriques pour calculer les longueurs VU, HU et UK.

Calcul de VU :
On considère le triangle rectangle VUH, rectangle en H. C'est toujours comme cela qu'il faut commencer, je vous le rappelle encore une fois.
On chercher la relation trigonométrique dont on connait déjà deux termes pour l'appliquer.

cos(UVH) = VH/VU
Or, on connait la mesure de l'angle UVH qui vaut 61° et on connait également la longueur VH = 3cm. Appliquons donc tout simplement la formule.

cos(61°) = 3/VU
<=> VU = 3/cos(61°) ≈ 6,3cm

Calcul de HU :
On considère toujours le même triangle : le triangle rectangle VUH, rectangle en H. On veut trouver la longueur du côté opposé à l'angle UVH, on va donc appliquer la formule faisant intervenir le sinus.

sin(UVH) = HU/VU
Or, on connait la mesure de l'angle UVH qui vaut 61° et on connait également la longueur VU = 6,3cm. Appliquons donc tout simplement la formule.

sin(61°) = HU/6,3
<=> HU = 6,3 × cos(61°) ≈ 3cm

Calcul de UK :
Cette fois-ci, comme on ne connait aucun angle du triangle rectangle UHK, mais on connait deux côté, on va appliquer le théorème de Pythagore. Allons-y.
Dans le triangle UHK, rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore, on la relation d'égalité suivante :

UK² = HU² + HK²
Application numérique :

UK² = 3² + 10² = 109
Donc :

UK = √109 ≈ 10,4cm

Conclusion :
Dans le triangle UVK :

VK² = (3 + 10)² = 13² = 169

Et :

VU² + UK² = 6,3² + 10,4² = 148

On remarque que :

VK² ≠ VU² + UK²

Donc, le triangle VUK n'est pas rectangle, d'après la réciproque du théorème de Pythagore.