Zeus désire se désaltérer avec un jus de planète pressé. La planète qu'il va choisir dans le système solaire doit suffire à remplir à ras bord ses deux verres de forme conique.
Le premier verre a un rayon de base de 6000 kilomètres pour une hauteur égale au rayon de la planète.
Le deuxième verre a un rayon de base égal à celui de la planète pour une hauteur de 20.000 kilomètres.
Le but de l'exercice est de trouver quel est le rayon de la planète qui sera sacrifiée.
Le premier verre a un rayon de base de 6000 kilomètres pour une hauteur égale au rayon de la planète.
Le deuxième verre a un rayon de base égal à celui de la planète pour une hauteur de 20.000 kilomètres.
Le but de l'exercice est de trouver quel est le rayon de la planète qui sera sacrifiée.
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Montrer que le problème peut se ramener à résoudre l'équation x³ = 5x² + 9x, où x est le rayon de la planète en milliers de kilomètres.
Soit x le rayon de la planète en milliers de kilomètres (comme on nous le dit dans l'énoncé).
Le problème revient en fait à dire que le volume de la planète (qui est en fait une boule) vaut la somme de celui des deux verres (qui eux sont des cônes de révolution) :
Vplanète = Vverre 1 + Vverre 2
Connaissez-vous les formules du volume d'une boule de rayon r et celui d'un cône de révolution de base de rayon r ?
Vboule = 4/3 × π × r³
Vcône = Abase × h = π × r × r × h 3 3
Ici, le rayon de la planète (de la boule) n'est non pas r mais x :
Vboule = 4 × π × x³ 3
Le volume du verre 1, de rayon de base 6000km et de hauteur x (le rayon de la planète) est :
Vverre 1 = π × 6 × 6 × x = π × 6² × x 3 3
J'ai mis 6 au lieu de 6000 car l'unité de x (rayon de la planète) est le millier de kilomètre.
Et enfin volume du verre 2, de rayon de base x (le rayon de la planète) et de hauteur 20.000km est :
Vverre 2 = π × x × x × 20 = π × x² × 20 3 3
Remplaçons tout cela dans l'équation de départ :
Vplanète = Vverre 1 + Vverre 2
4 × π × x³ = π × 6² × x + π × x² × 20 3 3 3
On a un 3 au dénominateur à gauche ET à droite, on peut donc le simplifier.
4 × π × x³ = π × 6² × x + π × x² × 20
Factorisons à droite par π.
π × 4 × x³ = π × (6² × x + x² × 20)
On a π en facteur à gauche ET à droite, on peut donc aussi le simplifier.
4 × x³ = 6² × x + x² × 20
On sait tous que 6² = 36, alors allons-y :
4 × x³ = 36 × x + x² × 20
Simplifions à gauche ET à droite par 4 :
x³ = 9 × x + x² × 5
Enfin, ordonnons tous cela.
x³ = 5x² + 9x
C'est exactement ce que l'on voulait avoir. -
Résoudre l'équation à l'aide d'une calculatrice graphique et conclure.
En utilisant notre calculatrice graphique, on trouve les solutions suivantes :
x1 = 6,405124837953 x2 = -1,405124837953 x3 = 0
Bien évidemment, une longueur ne peut être négative, il ne reste donc que ces solutions :
x1 = 6,405124837953 x3 = 0
De plus, si c'était 0, ce ne serait pas une planète.
Conclusion : La planète à sacrifier aura un rayon de 6,405124837953 milliers de kilomètres.