Résoudre les inéquations suivantes.
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(x - 1)(x + 3)² > 0
Essayons de trouver les valeurs qui annulent cette expression.
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
x - 1 = 0
⇔ x = 1 ou x + 3 = 0
⇔ x = - 3.
Traçons le tableau de signes.
Le signe de (x + 3) est toujours + , car un carré est toujours positif.
Donc l'expression va être strictement positive si, et seulement si : x - 1 > 0 ⇔ x > 1.
Comme on a un signe strictement positif, >, les crochets seront ouverts. Donc :
S = ]1; +∞[ -
x² - 14 ≤ 2
On n'a pas de produit. Il faut en trouver un en factorisant.
x2 - 14 ≤
⇔ x2 - 16 ≤ 0
⇔ (x - 4)(x + 4) ≤ 0
Essayons de trouver les valeurs qui annulent cette expression.
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
x - 4 = 0
⇔ x = 4 ou x + 4 = 0
⇔ x = - 4.
Traçons le tableau de signes.
On regarde où le produit est négatif.
Comme on a un signe ≤ , les crochets seront fermés. Donc :
S = [ - 4;4] -
(x - 1)² - (x² - 1) ≥ 0
On n'a pas de produit. Il faut en trouver un en factorisant.
(x - 1)2 - (x2 - 1) ≥ 0 ⇔ (x - 1)2 - (x - 1)(x + 1) ≥ 0 ⇔ (x - 1)[(x - 1) - (x + 1)] ≥ 0 ⇔ (x - 1)(x - 1 - x - 1) ≥ (x - 1)( - 2) ≥ 0
Le - 2 est constant et toujours négatif.
Donc, l'expression sera positive ou nulle si, et seulement si : x - 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1.
Donc :
S = ] -∞;1[ -
(x - 1)(2x + 3)(2x - 3) < 0
Essayons de trouver les valeurs qui annulent cette expression.
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
x - 1 = 0
⇔ x = 1 ou 2x + 3 = 0
⇔ x = -3/2 ou 2x - 3 = 0
⇔ x = 3/2
On trace le tableau de signes.
On regarde où le produit est strictement négatif.
Comme on a un signe strictement négatif, <, les crochets seront ouverts. Donc :
S = ] -∞; -3/2[U]1; 3/2[ -
[(2x - 3)(9 - x)] / [(5 - x)(4x + 3)] ≥ 0
On a un quotient de produit.
On cherche les valeurs qui annulent le numérateur et celles qui annulent le dénominateur. Ces dernière seront les valeurs interdites.
Pour le numérateur :
2x - 3 = 0
⇔ x = 3/2 ou 9 - x = 0
⇔ x = 9.
Pour le dénominateur :
5 - x = 0
⇔ x = 5 ou 4x + 3 = 0
⇔ x = - 3/4.
Donc, les nombres 5 et -3/4 sont les valeurs interdites du quotient.
On trace le tableau de signes, en n'oubliant pas les doubles barres pour les valeurs interdites.
On regarde où le produit est positif.
Comme on a un signe ≥ , les crochets seront fermés, sauf en l'infini bien sur. Donc :
S = ]-∞; -3/4[U[3/2; 5[U[9; +∞[
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Didiereugene671 • il y a 3567 jours. Cet exercice est plutôt compliqué surtout la quatrième question |