On considère les fonctions, définies sur l'ensemble des réels, suivantes :
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Etude de f :
- Calculer la dérivée de f.
- Etudier le signe de cette dérivée.
- En déduire le tableau de variations de la fonction f.Calculer la dérivée de f.
f '(x) = 1
Etudier le signe de cette dérivée.
La dérivée est constante égale à 1, donc toujours positive.
En déduire le tableau de variations de la fonction f.
La dérivée est toujours strictement positif, donc la fonction est toujours strictement croissante.
On aurait pu directement le deviner en regardant simplement la fonction vu que c'est une fonction affine.
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Etude de g :
- Calculer la dérivée de g.
- Etudier le signe de cette dérivée.
- En déduire le tableau de variations de la fonction g.Calculer la dérivée de g.
On a : u = x2 et v = x - 1.
Donc : u' = 2x et v' = 1.
Etudier le signe de cette dérivée.
Le dénominateur étant strictement positif, car c'est un carré, le signe de la dérivée dépend que du numérateur.
Mais quand es - ce que ce numérateur s'annule-t-il ? Quant l'un de ses facteurs est nuls.
Soit, pour x = 0 ou x = 2.
Attention à ne pas oublier la valeur interdite dans le tableau.
Cette valeur interdite est 1.
On a donc le tableau de signe de la dérivée suivant.
Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante.
Là où la dérivée est négative, la fonction est décroissante.
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Comparaison des deux fonctions :
Graphiquement :
- Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans un même repère dans l'intervalle [-3, 5].
- Quels sont les coordonnées des éventuels points d'intersections de ces deux courbes ?
Numériquement :
- Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question précédente ?
- La résoudre.GRAPHIQUEMENT :
Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans un même repère dans l'intervalle [-3, 5].
Par lecture graphique, les deux courbes se coupent en un point, que l'on notera A, de coordonnées A(1/2; 1/2).
NUMERIQUEMENT :
Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question précédente ?
Il faut résoudre : f(x) = g(x).
La résoudre.
On a trouvé le x, on remplace dans une des deux fonctions pour trouver le y.
On retrouve bien le point A de coordonnées A(1/2; 1/2).