Nous allons utiliser le raisonnement par récurrence pour montrer que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ 1.
Notons P(n) la proposition "<0 ≤ un ≤ 1".
Initialisation :
On sait que u0 = 1.
Donc P(0) est vraie.
Hérédité :
Supposons P(n) vraie et montrons que P(n + 1) l'est aussi.
On a donc :
D'où, en ajoutant 1 partout, on a :
Puis en divisant par 2 :
1 | ≤ | 1 + un | ≤ 1 |
---|---|---|---|
2 | 2 |
D'où :
0 ≤ | 1 + un | ≤ 1 |
---|---|---|
2 |
Autrement dit :
Donc, P(n + 1) est vraie.
Conclusion : La proprosition P(n) est vraie pour tout n entier naturel.