Modes de définitions d'une suite numérique

Cours première ES

1 - Mode explicite d'une suite

Il y a plusieurs façons de définir une suite numérique. C'est ce que nous allons voir dans cette section en commençant par le mode explicite à l'aide de fonction.

Définition

On remplace tout simplement le x de la fonction par le n de la suite.

Exemple

Si on veut représenter la suite u_n telle que , cela ne sera rien d'autre que la fonction inverse prises aux abscisses entiers naturels.

Remarque importante

Une suite numérique est définie de dans . Donc, si l'on représente une suite sur un graphique, on n'aura que des abscisses naturels et des ordonnées réels. N'oubliez jamais cela. C'est une cause très fréquente d'erreur.

2 - Mode récurrent d'une suite

Le mode récurrent est plus utilisés pour les suites numériques.

Définition

Mode récurrent d'une suite

Une suite numérique est définie par la donnée de son premier terme et d'un procédé qui permet de déterminer les suivants.

On utilise le terme u₀ pour calculer u₁, le terme u₁ pour calculer u₂, etc.

Regardez l'exemple qui suit.

Exemple

Déterminer les cinq premiers termes de la suite numérique suivante :



Nous avons déjà u₀ qui vaut 2. Utilisons-le pour déterminer u₁ en utilisant la première ligne comme ceci :

u₁ = u₀ + 3 = 2 + 3 = 5

Facile, non ? Continuons ainsi pour les autres termes.

u₂ = u₁ + 3 = 5 + 3 = 8
u₃ = u₂ + 3 = 8 + 3 = 11
u₄ = u₃ + 3 = 11 + 3 = 14

Nous avons terminé.

Nous avons donc toujours besoin du terme (n - 1) pour calculer le terme n ?

Oui. Mais ne vous en faites pas, on ne vous demandera jamais de calculer le u₁₀₀₀ sans vous faciliter la tache.

Nous pouvons aussi déterminer les termes de la suites graphiquement. Regardez l'exemple suivant.

Exemple

Déterminons graphiquement les quatre premiers termes de la suite numérique définie par :



Soit f la fonction définie par . On a alors u_{n + 1} = f(u_n).
Traçons les courbes de f et la courbe d'équation y = x dans un même graphique.

On représente sur l'axe des abscisses.
On remonte à partir de l'abscisse u₀ jusqu'à toucher la courbe. L'ordonnée du point d'intersection obtenu est noté u₁.

Maintenant, soyez attentif, nous allons tracer un trait horizontal à partir de l'ordonnée u₁ jusqu'à toucher la courbe d'équation y = x. L'abscisse de ce point d'intersection est u₁.
On fera ainsi pour trouver tous les termes de la suite numérique.

Je résume tout ça sur la courbe qui suit.