Théorèmes de comparaison

Cours première S

Nous allons attaquer les théorèmes de comparaison qui vont nous aider à montrer la convergence ou la divergence d'une suite.
Cette partie est très importante, concentrez-vous bien.
Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.

1 - Théorème des gendarmes

On débute par le critère de comparaison, appelé le théorème des gendarmes, vous comprendrez pourquoi.

Théorème

Une conséquente immédiate de ce résultat est le suivant :

Théorème

Convergence et théorème des gendarmes

Si à partir d'un certain rang on a |u_n - L| ≤ v_n avec , alors la suite u_n converge vers L.

Je vais vous appliquer ce théorème très puissant sur un exemple afin que vous saisissiez absolument tout.

Exemple

La limite de est 0.
En effet : on sait que :



C'est la propriété fondamentale de trigonométrie. Si par malheur vous ne la connaissiez pas, je vous aurais arraché la tête ! Continuons...
On va diviser par n tous les membres de l'inégalité.



On a donc trois suites : .
Or,



On a toutes les conditions pour appliquer le théorème des gendarme.
Conclusion, la suite converge vers 0.

2 - Critère de divergence

La divergence à présent.

Théorème

Critère de divergence

Soient u_n et v_n deux suites numériques telles que u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang.

Cela se comprend assez bien.
Si la limite de la suite u_n est +∞ et que la suite v_n est plus grande que la suite u_n, alors la limite de v_n sera plus grande que celle de u_n. Plus grand que +∞ cela ne peut être que +∞.
Si la limite de la suite v_n est -∞ et que la suite u_n est plus petite que la suite v_n, alors la limite de u_n sera plus petite que celle de v_n. Plus petit que -∞ cela ne peut être que -∞.

Exemple

La suite u_n = (3 + (-1)ⁿ)n² diverge vers +∞.
En effet, on a :

3 + (-1)ⁿ ≥ 2

On multiple l'inégalité par n² (positif, donc ne change aucun signe),

(3 + (-1)ⁿ)n² ≥ 2n²

Or :



Donc :