Un cours de maths sur les fonctions convexes. Dans cette partie, nous vous expliquons ce qu'est une fonction convexe, qu'est ce qui la caractérise et surtout comment la démontre-t-on.
On commence par la fonction convexe, avec une définition avant la propriété.
Définition
Fonction convexe
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa courbe représentative est intégralement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur I.![fonction convexe](/images_cours/fonction_convexe.png)
Je pourrai tout expliquer, mais je pense que la figure est très claire.
Je vais quand même vous donner un exemple que vous connaissez tous.
Exemple
La fonction carrée f(x) = x2 est une fonction convexe.
![fonction carrée](/images_cours/fonction_carree.png)
Et sans la courbe, comment on démontre qu'une fonction est convexe ?
C'est avec les dérivées première et seconde. J'y viens tout de suite avec ces deux propriétés.
Propriétés
Propriétés des fonctions convexes
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.- La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f' est croissante sur I.
- La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est positive sur I.
Donc, pour savoir si une fonction est convexe, il faut calculer sa dérivée première et, si celle-ci est croissante, autrement dit si la dérivée de cette dérivée (la dérivée seconde donc) est positive, la fonction est convexe sur l'intervalle donné.