Théorème de Pythagore et réciproque

Correction exercice 4ème

Voici ce que nous allons faire :

• Dans un premier temps, dans le triangle IJK, rectangle en I, nous allons calculer la longueur JK.
• Ensuite, dans le triangle JKL, nous utiliserons la réciproque du théorème de Pythagore (maintenant que nous avons la longueur des trois côtés) pour démontrer que ce triangle est rectangle en K.
• On pourra conclure que les droites (JK) et (KL) dont perpendiculaires.

Allons-y.

On considère le triangle IJK, rectangle en I.
D'après le théorème de Pythagore :

JK² = IJ² + IK²

Or, on a les longueurs suivantes : IJ = 18 cm et IK = 14 cm.
Donc :

JK² = 18² + 14²

On calcule tout ça :

JK² = 324 + 196 = 520

Or, une longueur est toujours positive.

JK = √520 = 22,8 cm

Maintenant que l'on a les longueurs des trois côtés du triangle JKL, montrons qu'il est rectangle en K.

Dans le triangle JKL, on a (le plus grand côté au carré) :

JL² = 31² = 961

Et (la somme des carrées des deux autres côtés) :

JK² + KL² = 22,8² + 21² = 961

On remarque que :

JL² = JK² + KL²

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en K.

Conclusion : les droites (JK) et (KL) dont perpendiculaires.