Soit M un point du segment [AB] avec AB = 8cm dans la figure suivante :
L'objectif de cet exercice de maths est de trouver le rayon du cercle de diamètre [AM] pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales.
Pour cela, on note x le rayon du cercle de diamètre [AM].
Soit f(x) l'aire de la partie grise en fonction de x.
Soit g(x) l'aire de la partie blanche en fonction de x.
L'objectif de cet exercice de maths est de trouver le rayon du cercle de diamètre [AM] pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales.
Pour cela, on note x le rayon du cercle de diamètre [AM].
Soit f(x) l'aire de la partie grise en fonction de x.
Soit g(x) l'aire de la partie blanche en fonction de x.
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Déterminer les domaines de définitions des fonctions f et g.
La question en réalité veut dire : dans quelle fourchette se situe l'aire de la fonction f et de la fonction g ?
Au minimum, le rayon de la partie grise (de même pour la partie blanche) vaut 0 et au maximum il vaut la moitié de la longueur AB (car c'est un rayon), soit 4cm.
Donc, comme les fonctions f et g dépendent toutes les deux de x et que x est compris entre 0 et 4, on a :
Df = Dg = [0; 4] -
Démontrer que le cercle de diamètre [MB] a pour rayon 4 - x.
On applique le principe de l'inégalité de l'égalité triangulaire :
AB = 8 = AM + MB = 2x + MB
En prennant les rayons, cela devient (on divise tout par 2) :
4 = x + rayon(MB)
On résoud très facilement cette équation pour trouvé le résultat attendu :
rayon(MB) = 4 - x -
- Déterminer l'expression algébrique de f(x).
- Déterminer l'expression algébrique de g(x).
- Déterminer l'expression algébrique de f(x).
Je rappelle que f(x) est l'aire de la partie grise en fonction de x. C'est-à-dire l'aire du cercle de diamètre [AM], soit x, plus celle du cercle de diamètre [MB] que l'on a déterminé à la question précédente.
En utilisant la formule de l'aire d'un disque, on obtient :
Af(x) = πx2 + π(4 - x)2 = π(x2 + 16 - 8x + x2) = π(2x2 - 8x + 16)
- Déterminer l'expression algébrique de g(x).
Attaquons à présent g(x) qui, je le rappelle, est l'aire de la partie blanche en fonction de x.
C'est tout simplement l'aire du cercle de diamètre [AB] (le grand cercle) moins l'aire des cercles gris à l'intérieur. Soit :
Ag(x) = π × 42 - f(x) = 16π - f(x)
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- Démontrer que le problème revient en fait à résoudre l'équation suviante : x2 - 4x + 4 = 0.
- A l'aide d'une factorisation, résoudre l'équation suivante : x2 - 4x + 4 = 0.
- Démontrer que le problème revient en fait à résoudre l'équation suviante : x2 - 4x + 4 = 0.
Je rappelle que le but de l'exercice est de trouver le rayon du cercle de diamètre [AM] pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales.
Donc, en fait, il faut trouver la valeur de x tel que Af(x) soit égale à Ag(x). Ces deux aire ont été calculées juste avant.
On doit donc résoudre l'équation suivante :
Af(x) = Ag(x)
Ce qui est équivalent à résoudre :
π(2x2 - 8x + 16) = 16π - f(x)
⇔ 2x2 - 8x + 16 = 16 - 2x2 + 8x - 16
⇔ 2x2 - 8x + 16 - 16 + 2x2 - 8x + 16 = 0
⇔ 4x2 - 16x + 16 = 0
⇔ x2 - 4x + 4 = 0
Donc, le problème revient en fait à résoudre l'équation : x2 - 4x + 4 = 0. - A l'aide d'une factorisation, résoudre l'équation suivante : x2 - 4x + 4 = 0.
Vous l'avez reconnu, c'est une identité remarquable :
x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0
On résud cette équation :
(x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2
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Conclure.
Donc : pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales, il faut que le rayon x du cercle de dimaètre [AM] vale 2cm.