ABC est un triangle quelconque
On a appelé M, N et P les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement des sommets A, B et C. Ces trois hauteurs se coupent en H, l'orthocentre de ce triangle.
On a appelé I, J et K les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [AH].
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Démontrer que le point M appartient au cercle C de diamètre [JK].
On sait que le point M est le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC.
Donc, les droites (AM) et (BC) sont perpendiculaires.
De plus, J ∈ (BC).
Donc, les droites (AM) et (JM) sont perpendiculaires.
De là, on en déduit que le triangle JKM est rectangle en M, d'hypoténuse [JK].
Or, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre de son cercle circonscrit.
Le cercle C de diamètre [JK] est donc circonscrit au triangle rectangle JKM.
Les trois sommets de ce triangle appartiennent donc au cercle C, en particulier le point M. -
Démontrer que le point I appartient au cercle C.
Ici, nous allons démontrer que le triangle JKI est rectangle en I, comme dans la question précédente.
Montrons que les droites (IJ) et (BN) sont perpendiculaires :
Dans le triangle ABC, la droite (IJ) joint les milieux des côtés [AB] et [BC].
Or, d'après le théorème des milieux, dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côté alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc (IJ) est parallèle à (AC).
De plus, (BN) étant la hauteur du triangle ABC issue du sommet B, cette droite est perpendiculaire à (AC).
Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
La droite (BN) est donc également perpendiculaire à (IJ).
Montrons que les droites (IK) et (BN) sont parallèles :
On sait que H est l'orthocentre du triangle ABC, c'est le point d'intersection des hauteurs de ce triangle.
Dans le triangle AHB, la droite (IK) joint les milieux des côtés [AB] et [AH].
Or, d'après le théorème des milieux, dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côté alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc (IK) est parallèle à (BH). Mais comme H ∈ [BN], on a : (IK) // (BN).
On en conclut donc que les droites (IJ) et (IK) sont perpendiculaires. Le triangle JKI est donc rectangle en I.
I appartient donc au cercle C de diamètre [JK] car c'est aussi le cercle circonscrit au triangle JKI, d'hypoténuse [JK]. -
Soit L le milieu du segment [AC]. Ce point appartient-il au cercle C ?
On fait exactement pareil que la question précédente, c'est-à-dire que l'on doit démontrer que le triangle JKL est rectangle en L.
On en déduira que le point L appartient aussi au cercle C.