Comparaison d'intégrales

Correction exercice terminale S

Nous allons comparer d'abord les fonctions x e^x2 et √x e^x.
Ensuite, nous intégrerons le tout et on aura gagné.

Pour tout x ∈ [0; 1] :

0 ≤ x ≤ √x ≤ 1 (1)
De plus :

x² ≤ x
Donc, comme l'exponentielle est strictement croissante :

e^x2 ≤ e^x (2)
D'après (1) et (2), on a, pour tout x ∈ [0; 1] :

x e^x2 ≤ √x e^x
Si on intégre tout cela sur [0; 1], on obtient :

√x e^x dx ≤ x e^x2 dx