Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs et
.
(0; -5; 0) et
(1; -3; -3).
Cela se voit très bien que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Donc, les points A, B et C ne sont aps alignés.
Pour déterminer une équation cartésienne du plan P passant par ces points, on va prendre un vecteur de l'espace. Cela va être un vecteur normal au plan (ABC).
Calculons ses coordonnées.
![vecteur AB](/images_cours/1S_8_10.png)
![vecteur n](/images_cours/1S_8_32.png)
![vecteur AC](/images_cours/1S_8_12.png)
![vecteur n](/images_cours/1S_8_32.png)
Ce qui nous permet de trouver :
a = 3c
Donc, comme vecteur normal au plan (ABC), on peut prendre
![vecteur n](/images_cours/1S_8_32.png)
Soit donc un point M(x; y; z) quelconque de l'espace.
Ce point M apparatient au plan (ABC) si et seulement si
![vecteur AM](/images_cours/1S_8_35.png)
![vecteur n](/images_cours/1S_8_32.png)
![vecteur AM](/images_cours/1S_8_35.png)
![vecteur n](/images_cours/1S_8_32.png)
⇔ 3(x - 2) + (z - 1) = 0
⇔ 3x + z- 7 = 0
Donc, une équation cartésienne du plan (ABC) est :