Avant tout, il faut savoir ce qu'est un produit scalaire. Dans ce cours de 1ère S, je vais vous apprendre la définition et les premières propriétés du produit scalaire dans le plan. Je vous ferai également un lien avec la notion d'orthogonalité.
Je vais vous définir tout d'abord cette nouvelle notion.
Définition
Produit scalaire
Soient
et 
deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire de
et est un réel, que l'on note ., défini par :
- Si ≠ 0 et ≠ 0 :
. = ||||.||||.cos(, ) - Si et sont nuls :
. = 0
La notation |||| signifie la norme du vecteur .
En réalité, ce n'est que le produit de la norme de et de la norme de que l'on multiplie par le cosinus de l'angle formé par ces deux vecteurs.
Si les deux vecteurs sont nuls, biensur leurs normes sont nulles, et donc leur produit scalaire aussi.
Remarque
. se note ² et est appelé carré scalaire.
Exemple
et avec |||| = 3, |||| = 4 et l'angle formé par ces deux vecteurs vaut 
soit 30°.
Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.
. = ||||.||||.cos(, ) = 3 × 4 × cos()Or, cos(
) = 
, tout le monde le sait.
. = 3 × 4 × cos() = 12 × = 
Le produit scalaire, comme je vous l'ai dit en introduction, permet de démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs.
Théorème
Orthogonalité et produit scalaire
Soient et deux vecteurs du plan.
Si
. = 0, alors les vecteurs et sont orthogonaux.
Cela se voit très bien regardez.
Démonstration : Si le produit scalaire est nul, c'est soit que la norme de est nulle, soit que celle de est nulle, soit que le cosinus de l'angle formé par ces deux vecteurs est nul.
Or, si les normes des deux vecteurs étaient nulles, les vecteurs seraient forcément nul.
Donc, cela ne peut qu'être le cosinus qui soit nul.
Mais un angle de
, c'est un angle droit !
Terminé.
Quand on fait le produit scalaire de deux vecteurs, c'est en fait une projection orthogonale de l'un sur l'autre.
Définition
Propriété du produit scalaire
Soient A,B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).
- Si
et 
sont de même sens :
= AB × AH - Si et sont de sens opposés :
= -AB × AH
Tout est très clair, je n'ai rien à ajouter là dessus.
Passons à présent aux propriétés relatives au produit scalaire.