Une nouvelle fonction en Terminale S, la fonction exponentielle. C'est la fonction réciproque de la fonction logarithme. Dans ce cours, je vous donne sa définition et deux théorèmes.
Commençons par un petit théorème avant la définition.
Théorème
Théorème exponentielle
Si f est une fonction dérivable non nulle sur
vérifiant f(x + y) = f(x) × f(y) avec x, y ∈ , alors f(0) = 1 et pour tout réel x, f'(x) = k f(x) où k = f'(0).
Une fonction qui vérifie l'égalité f(x + y) = f(x) × f(y), vous en connaissez beaucoup, vous ? On connait seulement la fonction puissance. Oui, on a 
.
La fonction exponentielle est construite de la même façon. Avec un exposant.
Définition
Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur telle que f' = f et f(0) = 1.
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle.
On la note :
La variable x est l'exposant du nombre e définit au chapitre précédent.
Vous noterez donc bien que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle : (ex)'=ex.
Ainsi que : e0 = 1.
Oui, encore une fois, tous les nombres élevés à la puissance 0 valent 1.
Vous aviez dit qu'il y avait un lien entre les fonctions logarithme et exponentielle. Je n'en vois pas ?
Il existe une propriété qui lie les fonctions exponentielle et logarithme. En effet, se sont deux fonctions réciproques. Cela veut dire que si l'on compose un nombre par la fonction logarithme puis par la fonction exponentielle (ou inversement), on ne change rien au nombre de départ :
De plus, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x comme vous le verrez dans peu de temps.
Un dernier théorème avant de voir les propriétés de cette fonction extraordinaire.
Théorème
Théorème de la fonction exponentielle
Soit k ∈.
Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur
telle que f' = kf et f(0) = 1.
Cette fonction est ekx.