Et si on liait nombres complexes et géométrie ? C'est le but de ce cours. En effet, nous allons voir que la géométrie et les nombres complexes ont un lien. Vous comprendrez toutes les propriétés de cette partie grâce aux exemples.
Les nombres complexes vont nous aider à montrer que des droites sont parallèles ou encore que des points sont alignés.
Rappelez-vous toujours que un point M d'affixe z = a + ib peut être placer dans un plan tel que son abscisse soit a et son ordonnée b.
Propriétés
Géométrie et nombres complexes
Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives a, b et c.- Le vecteur
a pour affixe (b - a). - La longueur AB vaut le module de l'affixe du vecteur : AB = |b - a|
- L'argument du vecteur est l'argument de son affixe :
- L'angle formé par les vecteurs et
est : 
Faites bien attention, les nombres a, b et c sont complexes, de la forme : a = x + iy avec x, y ∈ 
.
Exemple
L'affixe du vecteur
est : √3 + 3i - 4i = √3 - i.
La longueur AB vaut :
L'argument du vecteur
est : arg(√3 - i) = θ tel que : 
, c'est-à-dire -
.
Donc,
Voici un petit exemple de lieu géométrique.
Exemple
Avec A(-4; 0) et B(0; -2).
Le lieu recherché est la droite
, médiatrice du segment [AB], car on a tout le temps AM = BM, c'est la définition de la médiatrice.
Alors oui, pour déterminer des lieux géométriques, il faut connaître parfaitement sa géométrie.
On va pouvoir, comme je vous l'ai dit tout à l'heure, démontrer que des droites sont parallèles et bien plus encore.
Propriétés
Nombres complexes en géométrie
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan d'affixes respectives a, b, c et d et k ∈
.
- Les points A, B et C sont alignés si (; ) = kπ, soit
. - Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires si (; ) =
+ kπ, soit 
. - Les points A, B, C et D sont sur un même cercle si
.
Les points sont alignés si l'angle qu'ils forment est plat, soit égal à π.
Les droites sont perpendiculaires si l'angle qu'elles forment est égal à , soit droit.
Quatre points sont sur un même cercle si les angles qui interceptent le même arc sont égaux.
Exemple
Calculons :
L'argument d'un réel est toujours égal à π. Si l'affixe d'un point est réelle, le point se situe sur l'axe des abscisses, donc son argument est égal à π forcément, l'angle est plat.
Donc, les points A, B et C sont alignés.
Retenez le résultat de cet exemple : Si l'affixe est réelle, alors l'argument est égal à π et les points sont alignés.