Soit la fonction f définie sur R+ par f(0) = 0 et si f ≠ 0 :
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Montrer que f est continue sur R*+ et étudier la continuité de f en 0.
La fonction e-1/x est continue sur
*+, qui est la composée de fonctions continues, et la fonction racine carrée est continue sur *+.
Donc, la fonction f est continue sur*+ car c'est un produit de fonctions continues.
Etudions à présent la continuité de f en 0.
La fonction racine est continue en 0, donc :
De plus :
Et :
Donc :
On en déduit donc que :
Et que :
La fonction f est donc continue en 0.
Finalement, f est continue sur.
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Montrer que f est dérivable sur R*+ et étudier la dérivabilité de f en 0.
La fonction e-1/x est dérivable sur
*+, qui est la composée de fonctions continues, et la fonction racine carrée est dérivable sur *+.
Donc, la fonction f est dérivable sur*+ car c'est un produit de fonctions continues.
Etudions à présent la dérivabilité de f en 0.
Si x > 0, alors :
Or, on sait que :
De plus :
Et :
Donc :
D'où :
La fonction f est dérivable en 0 et on a :f '(0) = 0