Soient les fonctions f et g définies par :
On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et f dans un repère orthonormé.
On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et f dans un repère orthonormé.
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Déterminer la limite de la fonction f en -∞.
Pour tout réel x, on a :
On sait que :
Et que :
Donc :
De plus :
Et :
Donc, d'après le théorème sur la limite de la composé de deux fonctions :
D'où :
Finalement, on obtient :
-
Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
On a :
Donc :
Or :
Et :
Donc :
Ainsi :
Et donc :
-
On pose h(x) = f(x) - g(x). Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
On a :
h(x) = f(x) - g(x) = xe-x
Et on a vu que :
Donc :
Qu'es-ce que cela veut dire ?
Eh bien, comme f(x) = g(x) + h(x) et que la limite de h(x) en l'infini vaut 0, la courbe Cg est une courbe asymptote à la courbe Cf. -
Etudier la position relative des courbes Cf et Cg.
On a :
f(x) - g(x) = h(x) = xe-x
Et h(x) est du signe de x, donc Cf est au dessous de Cg sur l'intervalle ]-∞; 0[ et Cf est au dessus de Cg sur ]0; +∞[.
De plus, les courbes se coupent au point d'abscisse 0. -
Montrer que la dérivée f ' de f est : f '(x) = (x - 1)(1 - ex).
D'abord, la fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout réel x, la dérivée de f est :
f '(x) = x - 1 + ex - xe-x = (x - 1) - e-x(x - 1) = (x - 1)(1 - e-x) -
Etudier le signe de cette dérivée pour en déduire les variations de la fonction f.
On a :
1 - e-x > 0
⇔ 1 > e-x
⇔ ex > 1
⇔ x > 0
On en déduit aisément le tableaux de signes suivant :
On en déduit facilement que f est strictement croissante sur ]-∞; 0[ et sur [1; +∞[ et strictement décroissante sur [0; 1]. -
Dresser le tableau de variation des fonction f et g.
Le tableau de variations de la fonction f se déduit du tableau de signes précédent :
Pour la fonction g, on a :g'(x) = x - 1
Donc :
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Tracer Cf et Cg.
Voici les représentations graphiques des fonction f et g.
