Soit un rectangle dont le périmètre P est égal à 4cm.
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Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à
cm².On sait que le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est : 2(L + l) = 4, soit L + l = 2.
De plus, l'aire de ce même rectangle est : L × l =.
On a donc un système de deux équations à deux inconnues. Résolvons - le.L + l = 2 ⇔ L = 2 - l
On met tout cela dans la seconde égalité.L × l = ⇔ (2 - l)l = ⇔ 2l - l2 = ⇔ l2 - 2l + = 0
Il nous suffit donc de résoudre cette équation du second degré pour déterminer l'inconnue l, puis L.
Calculons donc le discriminant.Δ = 4 - 4 × 1 × = 4 - 3 = 1
D'où les racines suivantes.
Donc :l = 3/2
L = 2 - l = 2 - 3/2 = 1/2
ou
l = 1/2
L = 2 - l = 2 - 1/2 = 3/2. -
On cherche à présent les dimensions du rectangle de façon à ce que sont aire S soit maximale.
- Exprimer S en fonction de l.
- Soit la fonction définie sur R par f(x) = x(2 - x).
Calculer sa dérivée et le signe de celle-ci afin de dresser le tableau de variation de cette fonction f. Puis tracer la courbe représentative de cette fonction dans l'intervalle [0,2]. - En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4cm et l'aire S est maximale.
- Exprimer S en fonction de l.
D'après la formule de l'aire d'un rectangle : S = l × L = l(2 - l).
- Soit la fonction définie sur R par f(x) = x(2 - x).
Calculer sa dérivée et le signe de celle-ci afin de dresser le tableau de variation de cette fonction f. Puis tracer la courbe représentative de cette fonction dans l'intervalle [0, 2].
Calculons la dérivée de cette fonction très simple f(x) = x(2 - x) = 2x - x2.f '(x) = 2 - 2x
Quand cette dérivée s'annule-t-elle ?f '(x) = 0 ⇔ 2 - 2x = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1
Dressons donc le tableau de variations de la fonction f.
Et voici donc le tracé de la fonction.
- En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4cm et l'aire S est maximale.
La fonction f représente en fait l'aire du rectangle. Cette aire est maximale quand la fonction f l'est, c'est à dire quand sa dérivée s'annule, soit au point de coordonnées (1; 1).
On en conclut donc les dimensions du rectangle L = l = 1 pour que le périmètre soit égal à 4cm et l'aire maximale.
D'ailleurs, ses dimensions se vérifient aisément.