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Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
La fonction logarithme est définie sur ]0; +∞[.
Donc, le domaine de définition de la fonction f est :
Df = ]0; +∞[ -
Calculer la dérivée de la fontion f.
La fonction f est un produit de fonctions dérivables sur l'ensemble de définition ]0; +∞[.
Donc, f est dérivable sur ]0; +∞[. On peut donc maintenant calculer sa dérivée. Bien qu'il y ait un logarithme, ce n'est rien d'autre qu'un produit, donc on utilise la formule de la dérivée d'un produit :
(uv)' = u'v + uv'
On pose :
u = 5 + x
v = ln(x)
D'où les dérivées de u et v, deux fontions dérivables sur ]0; +∞[ :
u' = 1
v' = 1 x
On applique la formule :
f(x)' = 1 × ln(x) + 5 + x x
f(x)' = ln(x) + 5 + x x -
Calculer la dérivée seconde de la fonction f.
La fonction f' est une somme et quotient, dont le dénominateur ne s'annule pas, de fonctions dérivables sur l'ensemble de définition ]0; +∞[.
Donc, f' est dérivable sur ]0; +∞[. On peut donc maintenant calculer sa dérivée. On utilise cette fois-ci la formule de la dérivée d'un quotient :
Pour le quotient de la fonction f', on pose :
u = 5 + x
v = x
D'où les dérivées de u et v, deux fontions dérivables sur ]0; +∞[ :
u' = 1
v' = 1
On applique la formule pour calculer la dérivée seconde de la fonction f
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Etudier la convexité de la fonction f et donner ses éventuels points d'inflexions.
Pour étudier la convexité de la fonction f, il faut étudier le signe de sa dérivée seconde.
Cool, on vient de la calculer.
Quand f ''(x) > 0 alors la fonction f est convexe et quand f ''(x) < 0 la fonction f est concave.
On dresse donc le tableau de signes de f.
Donc : la fonction f est concave sur ]0; 5[, convexe sur ]5; +∞[ et sa courbe représentative admet un point d'inflexion au point de coordonnées (5; 0).